Polynôme constant

; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 = x2 − 2x − 3. 2. Valeurs propres de A : ce sont les racines de pA (x) : ici √ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± 1 + 3, donc

hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes de Jacobi

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITION On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré. DÉFINITION On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient

que l’ensemble des fonctions P périodiques de B est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables. I.G - Soit N P = {x : x ( t ) = k=1 ∑ ck e iω k t N ∈ IN, c k ∈ C, ω k ∈ IR distincts } I l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que P est stable par produit de fonctions, et que l’application ( x, y ) a définit un produit scalaire sur P . En particulier

de Maths Spé MP 1 Polynômes n n 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n ∈ N. ∀a ∈ K, P(X) = k=0 P(k) (a) (X − a)k et en particulier P(X) = k! k=0 P(k) (0) k X . k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de Xk dans P est ak = P(k) (0) . k! 2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine. (Pour a ∈ K et k ∈ N) a est racine de P d’ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k

DIAGONALISATION EXERCICE 1. E = R3 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE

Chapitre 1 Chapitre 1. Le second degré Activités et applications Application 1 a) – 3x2 + 5x – 2. 1. Équation du second degré ; discriminant Δ = 52 – 4 × (– 3) × (– 2) = 1 > 0. x1 = Activité 1. a) et b) D’après le graphique, le 1er projectile tombe à – 5 – 11 – 5 + 11 2 = 1 ; x2 = = . –6 –6 3 – 3x2 + 5x – 2 + 0 – Δ = 32 – 4 × 2 × (– 1) = 17 > 0. x1 = – 3 – 417 – 3 + 417 ; x2 = . 4 4 x a) x2 – 5x + 4 = 0. 2x2 + 3x – 1 Δ = (– 5)2 – 4 ×

de la fonction de transfert en boucle fermée F(z); c’est-à-dire les racines de l’équation caractéristique 1 + G(z) = 0. Cette équation n’est généralement facile à résoudre que dans le cas où le degré du polynôme 1 + G(z) est inférieur ou égal à deux. Cette résolution se complique lorsque ce polynôme dépend d’un paramètre (ou plusieurs). En effet, dans ce cas il est difficile, voire impossible, de calculer les racines afin de conclure sur la stabilité. D’où la nécessité de disposer des outils (critères)

La fonction quadratique La fonction quadratique est une fonction f définie par une relation de la forme f (x) = ax ² où le paramètre a ≠ 0. Le graphique de celle fonction en forme de parabole peut être représenté dans un plan cartésien.La fonction quadratique est en réalité une fonction polynomiale du second degré définie par une règle dont tous les coefficients des termes de degré inférieur à 2 sont nuls. L'équation de base est la suivantey=ax2  ou    y=a(bx)2Cette fiche traite de la fonction

([?, ?]) ⊆ ?, et g une fonction continue sur [?, ?] Alors il existe m et M dans ℝ tel que ?([?, ?]) = [?, ?] ∈ ?, Donc pour tout ? ∈ [?, ?] on a : ? ? ? ? ≤ ?(?) ≤ ? et par suite On a : ? ∫? ?(?)?? ≤ ∫? ?(?) ?(?) ≤ ? ∫? ?(?)?? Prenons g la fct constante tel que ∀? ∈ [?, ?] ; g(x)=1 : d’où : ? ? ∫? ?? alors : ≤ ? ∫? ?(?) ? 1 ∫ ?(?) ?−? ? ≤ ? ? ∫? ?? ? et par conséquence : ? ≤ ∫? ?(?) ? ∫? ?? ? ≤?⇔?≤ ∫? ?(?) ?−? ≤? ∈? b) 2) ? 1 1 a) Facile. En déduire que ?? ≤ ?−1 ∫1 ? ? ?? = 1