Polynôme constant

. . Première S 1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trimôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme : P(x) = ax2 + bx + c avec a 0 Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1 (x) = x2 + 2x − 8 P2 (x) = 2x2 + 3x − 14 P3 (x) = −x2 + 4x − 5 1.2 Quelques exemples de formes canoniques La forme canonique d’un trinôme est une forme à partir

composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ] Les

Nombres complexes 1 Introduction historique n La notion de nombre complexe est li´e ` la r´solution des ´quations alg´briques ( e a e e e i=0 ai xi = 0). D`s e que n est sup´rieur ` 2, on a du mal ` trouver les solutions par des calculs simples et surtout rationnels e a a (faisant intervenir des racines carr´es, cubiques, etc.). Les babyloniens, apparemment, savaient ramener e la r´solution des ´quations quadratiques et bicarr´es ( ´quations de degr´ 4 o` n’interviennent que des

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu’à la mécanique quantique. Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé. Première partie Pour tout n ∈ N, on considère la fonction polynomiale

La factorisation des polynômes de degré 3 Pour factoriser un polynôme de degré 3 P(x), il faut : 1) déterminer un nombre k tel que P(k) = 0 2) diviser P(x) par (x – k) 3) utiliser le quotient de la division pour écrire le facteur trinôme 4) factoriser le trinôme si possible Voici un exemple : Factorise P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 1) P(1) = 0 2) Donc il faut diviser P(x) par (x –1). La division synthétique est utile pour

EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES CORRIGE PARTIE I 1°) a) Comme a(e1)=e2 et a2(e1)= e3 la famille (e1, a(e1), a2(e1)) est une base de E et a est cyclique. • Le polynôme caractéristique de A est : -(x-1)(x-2)(x-3). • ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ Ker (A-I3)=Vect ⎜ − 5 ⎟ , Ker (A-2I3)= Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ , Ker (A-3I3)=Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ et ⎜ − 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base des

k en fonction de Dk , puis calculer M k . Correction [002580] 1 2 Partiel Exercice 4 Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est   −3 −2 −2 1 2 A= 2 3 3 2 1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A. 2. Démontrer que les valeurs propres de A sont −1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés. 3. Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 dans laquelle la matrice de u est diagonale. 4. Trouver

MATHEMATIQUES (Semestre 4 ) – ALGEBRE II – Travaux Dirigés -TDProfesseur : M.REDOUABY Série d’exercices Quelques corrigés Partie 1 Exercice 1 On considère les trois matrices suivantes :         −2 0                 7 ; B= A= 0 3 0 5 0 C= 0 4                         0 −11 −11 Exercice 1 1) Calculer : 2A -3B + 4C ; det((A-B+2C) ) 3 Exercice 1 2)

Dérivée et sens de variation d’une fonction. (Savoir le maxi et MINI) Fonction définie sur un intervalle f(x) = x²- 6x +1 Calculer la dérivée (VOIR TABLEAU) f’(x)= 2x – 6 Chercher la valeur de x 2x – 6 = O 2x = 6 x = 6 : 2 = 3. (On applique la règle «  signe de a = 2 après le o », donc + après le 0. CHERCHER LA VALEUR DE X QUI ANNULE LA DERIVEE (CHERCHER LE SIGNE DE a.) ( Dresser le tableau de variation Tracer les flèches. positionner f(x)

An = I n−1 + http://www.bibmath.net n n−1 n n−2 2 I B+ I B 1 2 2 Exercices - Matrices : corrigé ce qui se réécrit en An = I + nB + On a donc  1 n  A= 0 1 0 0 n(n − 1) 2 B . 2 n(n−1) 2 n 1   . Exercice 7 - Puissance n-ième - avec un polynôme annulateur - L1/Math Sup 1. On sait que X n = (X 2 − 3X + 2)Qn (X) + an X + bn , où an X +bn est le reste dans la division euclidienne de X n par X 2 −3X +2. Pour trouver la valeur de an et bn , on évalue l’égalité précédente en les racines de X