Polynôme constant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BTS DOMOTIQUE I 2008-2010 Fonctions Fonctions usuelles I.1 Fonctions en escalier Définition 1 Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles.   −2    Exemple 1  6 La fonction définie sur [−8 ; +∞ [ par f (x) =  3     1 si −8 ≤ x < −2 si −2 ≤ x ≤ 0 est une fonction en escalier. si 0 < x < 4 si 4 ≤ x 6 4 2 −8 −6 −4 2 −2 4 6 8 10 12 14 −2 I.2

FONCTIONS POLYNÔMES 1. Fonction polynôme de degré quelconque 1.1. Définition On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) de degré n (n Î ) toute fonction P définie sur  dont l'écriture peut se ramener à la forme : P(x) = an xn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 où a0, a1, ... , an réels avec an ¹ 0 Le terme apxp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P). Exemples et contre-exemples : · La fonction P définie par P(x) = 7x6 – 5x4 + 3x – 11 est une fonction polynôme de degré 6. · Toutes les

matrice 4×5 dont les coefficients sont définis par f[i,j] – A.B; Renvoie le produit de A et de B – A^^(n); Renvoie la puissance nième de A. – eigenvalues(A); Renvoie les valeurs propres de la matrice A. – charpoly(A, x), expand; Renvoie le polynôme caractéristique de A. – determinant(A); Renvoie le déterminant de A. Résolution de f(x)=c sur [ a, b] – find_root(f(x)=c,x,a,b) : Renvoie une valeur approchée des solutions de f(x)=c sur [a,b]. Les équations différentielles – ode2('diff(y

Calcul scientifique Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3

Matrices 2012 - 2013 1/9 Sommaire 1 Matrice 2 Opérations sur les matrices Matrices 2012 - 2013 3/9 Matrice Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de R comportant n lignes et p colonnes. Elle s'écrit :    a1,1 ··· a1,n    . . . .. . . . . ou ai,j am,1 ··· am,n 1≤i≤n 1≤j≤p ou (ai,j ) où aij ∈ R est l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont

et le résultat par récurrence. Donck = (¡1)n. 3) Il faut et il su¢t que le terme dominant de Q soit (¡1)nXn : ² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition:

matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel, on note idE l’application identité sur E. Enfin, on note K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K. On dit qu’une matrice A de Mp (K) est «toute-puissante sur K» et on notera en abrégé TPK si, pour tout n ∈ N∗ , il existe une matrice B de Mp (K) telle que A = B n . On note Tp (K) l’ensemble des matrices de Mp (K) toutes-puissantes

(Symbolisé par une flèche( dans le tableau de variations) • Si f’(x) < 0, pour tout x de J, alors f est strictement décroissante sur J. (Symbolisé par une flèche ( dans le tableau de variations) • Si f’(x) = 0, pour tout x de J, alors f est constante sur J. (Symbolisé par une flèche → dans le tableau de variations) Remarque : On utilise généralement un seul tableau pour l’étude du signe de la dérivée et les variations de f. 2 Rappels sur les études de signe : Pour étudier le signe de

de A : [pic] 2) Le déterminant de A : [pic] 3) Le polynôme caractéristique de A : [pic] 4) Le spectre de A :[pic] [pic]Ces attributs permettent entre autre de calculer systématiquement [pic] Exemple [pic] [pic] PROPRIETE (Théorème de Cayley-Hamilton appliqué au cas 2[pic]) O est la « matrice nulle » : [pic]I est la « matrice identité »: [pic] Pour la matrice [pic]on a toujours: [pic] « On remplace [pic]par la matrice A dans le polynôme caractéristique de A » Conséquence [pic] Exercice

....................5 Second degré : Tableau récapitulatif...............................................................................................................6 1. Forme canonique Définition On appelle trinôme du second degré, ou polynôme de degré 2, toute fonction P, définie par P (x ) = ax 2 + bx + c (avec a, b, c Î R et a ¹ 0 ) Méthode (Obtention de la forme canonique) Soit le trinôme P (x ) = ax 2 + bx + c . b c P (x ) = a x 2 + x + a a b b 2 b = a x2 + 2 ´ x + 2a