Polynôme de Tchebychev

I, la composée de u suivie de f est la fonction notée f ° u définie sur I par : f ° u x  = f  u  x   11 II) FONCTIONS USUELLES Fonction affine Les fonctions s'écrivant sous la forme f(x)=ax+b sont appelées fonction affine ou fonction polynôme de degré 1 La représentation graphique de la fonction affine f : x  ax b est une droite d'équation y =ax  b . a s'appelle le coefficient directeur, et b est l'ordonnée à l'origine. y 6 5 4 3 2 1 b=5 Cette droite a pour équation y=-2x+5

3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

291 292 293 294 295 297 18.5 18.6 18.7 18.8 19 Polynômes 19.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Les ensembles K[X] et Kn [X] . . . . . . . . . . 19.1.2 Évaluation d’un polynôme . . . . . . . . . . . . 19.2 Opérations usuelles dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Addition et multiplication par un scalaire . . . . 19.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Composition des polynômes . . . . . . . . . . . 19.2.4 Dérivation . . . . .

quelle est la probabilité que le message soit mal interprété ? Exercice 2.21 (Inégalité de Tchebychev) On jette 3600 fois un dé et on appelle S le nombre de fois où apparaît le numéro 1. 1. Quelle est la loi de S ? Donner sa moyenne et sa variance. 2.6. Exercices 11 2. Exprimer sous forme d’une somme la probabilité que ce nombre soit compris strictement entre 480 et 720. Grâce à l’inégalité de Tchebychev, minorer cette probabilité. Exercice 2.22 (Surbooking) Des études effectuées par une compagnie

2.2 Polynôme d’un endomorphisme Définition 10 n Soit P ∈ K[X], tel que P = ak X k et u un endomorphisme de E. On note P(u) k=0 l’endomorphisme défini par n ak u k . P(u) = k=0 8 Réduction des endomorphismes Proposition 7 Soient P, Q ∈ K[X], l, m ∈ K et u ∈ L(E), on a les égalités (lP + mQ)(u) = lP(u) + mQ(u) (PQ)(u) = P(u) ◦ Q(u). Preuve ❑ C’est une conséquence de la structure d’algèbre de L(E). Définition 11 On dit qu’un polynôme P est un polynôme annulateur

.., X n sont Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013 Probabilités -4- 1 n ∑ Xk . n k =1 a) Déterminer en fonction de n l'espérance E n et la variance V n de Z n . b) Rappeler l’inégalité de Bienaymé Tchebychev et en déduire, pour tout ε > 0 , la limite de P ( Z n − E n ≥ ε) quand n tend vers l’infini. 3) En réalisant un grand nombre de fois l'expérience précédente, on constate qu'il a fallu, en moyenne, effectuer à chaque fois 6 tirages pour obtenir

connus sont les polynômes. En effet n’importe quelle fonction suffisamment continue de plusieurs variables peut être approchée avec une précision arbitraire (sur un domaine fini de l’espace de ses variables) par une fonction polynôme. Cette fonction polynôme peut être déterminée par le développement limité si la fonction est connue, ou par une régression polynomiale si la fonction est inconnue. On peut également citer toutes les formules d’approximation polynomiale telles les polynômes d’interpolation

Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances

5-11 LGCD ,5-11 PROPFRAC ,5-11 SIMP2 ,5-11 Menu INTEGER ,5-11 Menu POLYNOMIAL ,5-12 Menu MODULO ,5-12 Applications du menu ARITHMETIC ,5-13 Arithmétique Modulaire ,5-13 Anneaux arithmétiques finis dans la calculatrice ,5-15 Polynômes ,5-19 Arithmétique modulaire avec des polynômes ,5-19 Fonction CHINREM ,5-20 Fonction EGCD ,5-20 Fonction GCD ,5-21 Fonction HERMITE ,5-21 Fonction HORNER ,5-21 La variable VX ,5-22 Fonction LAGRANGE ,5-22 Fonction LCM ,5-23 Fonction LEGENDRE ,5-23 Fonction PCOEF ,5-23

38 On note R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. n ∀ P ∈ E, on pose N1 (P ) = n ai X i avec n |ai | et N∞ (P ) = max |ai | où P = 0≤i≤n i=0 deg P . i=0 1. (a) Démontrer que N1 et N∞ sont des normes sur R[X]. (b) Démontrer que tout ouvert pour la norme N∞ est un ouvert pour la norme N1 . (c) Démontrer que les normes N1 et N∞ ne sont pas équivalentes. 2. On note Rk [X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à k. On note