Polynôme de Tchebychev

. . . . . . 154 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’un système de Cramer 68 69 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 73 3.1 Éléments propres 74 3.2 Polynôme caractéristique 79 3.3 Diagonalisabilité 86 3.4 Trigonalisation 98 3.5 Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées 106 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 106 109 116 118 CHAPITRE 3 3.6 CHAPITRE 4 4.1 4.2 IV 68 Généralités Polynômes annulateurs Théorème de Cayley et Hamilton Idéaux de K [X] (PSI Applications de la diagonalisation 119 3.6.1 3.6.2

II Arithmétique 34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes 42 42 45 48 51 52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes

        . . . . . . . .  .  . . . 0 0 0 ··· ··· 0 Cette matrice est clairement de rang 2. 3. On sait par le théorème du rang que dim ker f = n + 1 − 2 = n − 1. On a f (P ) = 0 si et seulement si X 2 − X P (1) + X 2 + X P (−1) = 0. Les polynômes X 2 − X et X 2 + X forment une famille libre de R2 [X] (ils sont non colinéaires), et P (1) , P (−1) sont des scalaires, ainsi cela équivaut à P (1) = P (−1) = 0. On en déduit que ker f = {P ∈ Rn [X] , P (1) = P (−1) = 0} = X 2 − 1 Rn−2 [X] =

6131 3.2361 3.8637 a2 1 2 3.4142 5.2361 7.4641 a3 1 2.6131 5.2361 9.1416 a4 a5 Parate aqui cabroncete : a6 1 3.2361 7.4641 1 3.8637 1 2.2.1.2. Filtres de Tchebychev : Les polynômes de Tchebychev ont l’avantage d’une réponse uniforme tout au long de la bande passante. La réponse en amplitude des filtres de Tchebychev oscille entre deux valeurs dans la bande passante. Le nombre d’oscillations dans cette bande dépend de l’ordre « n » du filtre. L’amplitude des oscillations (ε) est un

mal à démarrer ? Corrigés des exercices Z 231 231 233 236 238 11. Notions sur les fonctions de deux variables réelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 169 169 172 174 176 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 247 248 251 257 258 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 225 225 226 227 228 11. Notions sur les fonctions de deux variables réelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 165 165 168 170 172 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 233 233 236 239 241 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence . . 5.4.3 inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) . . . . . . 5.4.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Changement du signe du coefficient b1 , changement de z en -z . . . . . 5.5 Cellule IIR d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . .

(θ)(t − θ)n−1 dθ. (1.82) 0 Si on note Hn la fonction t → H(t)t , la primitive d’ordre n de f s’écrit Hn ∗ f . Γ(n) Ces considérations se généralisent également à l’obtention de la dérivée et la primitive d’ordre α avec α complexe. Convolution de polynômes-exponentiels : Toujours dans le cas de fonctions sommables f1 et f2 , le produit de convolution de deux distributions s’identifie au produit usuel de deux fonctions. En particulier, si elles appartiennent à D+ , nous aurons : t h(t) = (f1 ∗ f2

(t ) ∗ x(t ) - Le produit de convolution est aussi associatif et distributif par rapport à l’addition. - On fera apparaître, en Représentation Fréquentielle, le produit de convolution comme un produit de transformées fréquentielles (produit de polynômes). - La convolution discrète wn = xn * yn = ∑ xk yn − k est un algorithme pyramidal (≡ il met en k oeuvre une récurrence à partir de 2 signaux (ici xn et yn ) pour autoriser le calcul du signal résultat (ici wn )). s(t ) à TC (resp.