Polynôme de Tchebychev

partent du principe que le problème de la synthèse des filtres a déjà été largement développé dans le domaine du signal continu. Il a été établi plusieurs méthodes d’approximation polynômiale d’un gabarit aboutissant aux filtres de Butterworth, Tchebychev, Cauer, Legendre.... Le filtrage des signaux discrets reprend ces méthodes en cherchant simplement une technique de passage du continu au discret qui préserverai au mieux les caractéristiques du filtre. Principe de la transposition : Nous supposons

b) si signe y ‘ ( x ) = signe (a x + b )  polynôme de degré 1  change de signe en - b / a x   - b / a +  signe ( a x + b ) - signe a 0 signe a Ex : f ( x ) = 3Ln ( x + 1 ) – 2 Ln ( x – 1 ) définie sur D = ] –1 ; 1 [ f ‘( x ) = [ x – 5 ] / ( x + 1) ( x – 1) Or le dénominateur > O sur D  signe f ‘ ( x ) = signe [ x – 5 ] donc f ‘ ( x ) < o sur D  f décroît c) si signe y ‘ ( x ) = signe ( a x 2 + b x + c ) polynôme de degré 2, discriminant  = b 2 – 4 ac

Eléments de géométrie dans le plan complexe (affixe d’un point, d’un vecteur, produit scalaire, etc.) • Formules trigonométriques (a cos 2πf t + b sin 2πf t = A cos (2πf t + ϕ), etc.) • Réciproques des fonctions trigonométriques • Factorisation de polynômes de degré peu élevé • Equation de degré deux à coefficients complexes • Décomposition en éléments simples Prolongements possibles • Racines n-ièmes • Applications des transformations usuelles dans le plan complexe (Bode, Nyquist, etc) • Concept de

On note, pour j ∈ N et m ∈ N∗ , Tj (m) = m 1) Montrer que k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = kj . k=1 n j=0 n+1 Tj (m). j 2) En déduire une formule de récurrence sur n permettant de calculer Tn (m). 3) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , Tn (m) est un polynôme de degré n + 1 en m qui s’annule en 0 et −1. Solution 1) En utilisant la formule du binôme, on a n+1 (k + 1)n+1 = j=0 donc n+1 j k , j n (k + 1)n+1 − kn+1 = j=0 n+1 j k , j EI 5 et m m k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = k=1 On peut intervertir

Eléments de géométrie dans le plan complexe (affixe d’un point, d’un vecteur, produit scalaire, etc.) • Formules trigonométriques (a cos 2πf t + b sin 2πf t = A cos (2πf t + ϕ), etc.) • Réciproques des fonctions trigonométriques • Factorisation de polynômes de degré peu élevé • Equation de degré deux à coefficients complexes • Décomposition en éléments simples Prolongements possibles • Racines n-ièmes • Applications des transformations usuelles dans le plan complexe (Bode, Nyquist, etc) • Concept

s’en déduit. Définition Le moment centré d’ordre n de la variable aléatoire X est défini par IE[(X − m1 )n ] où m1 = I E(X) . Remarquons au passage que si le moment non centré mn existe, alors le moment centré existe, puisque c’est l’espérance d’un polynôme en X de degré n et qu’on vient de voir que les moments de degré inférieur à n existaient. Le cas particulier réellement important est le cas où n = 2. Définition Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle le moment centré d’ordre 2 de X la variance

de N ( x ) . Soit y = N ( x ) − 0.5 Si y ≤ 0.42 , alors l'approximation proposée est égale à : x = y⋅ ∑a ⋅ y ∑b ⋅ y j =0 i i =0 4 i 3 2⋅i 2⋅i Si en revanche y > 0.42 alors l’approximation est obtenue, à ‘aide des polynômes de Tchebychev, par la formule suivante : c ⎡8 ⎤ x = ε ⋅ ⎢∑ ci ⋅ Ti (t )⎥ − ε ⋅ 0 2 ⎣ i =0 ⎦ Page 69 sur 88 PFE – Les Options Exotiques Emmanuel BIOUX, Matthieu FOURNIL-MOUSSE, Loïc TONNELIER Le 01/04/2004 Où ε est le signe de y et t

97 Y. Le Jan, S. Lemaire Esp´rance et variance e 98 Chapitre 9 Loi faible des grands nombres et applications 9.1 In´galit´s de Markov et de Bienaym´-Tchebychev e e e On a vu que la variance mesure l’amplitude moyenne des fluctuations de la variable autour de sa moyenne. L’in´galit´ de Bienaym´-Tchebychev va permettre de pr´ciser cette e e e e propri´t´. ee Proposition 24 Si X est une variable al´atoire positive, alors pour tout ε > 0, e P (X ≥ ε) ≤ E(X) ε (in´galit´ de Markov)

probabilités suivantes : Pr ( X = ) ; Pr ( X < ) et Pr ( X > ). 3 3 3 6°/ Calculer les probabilités des intervalles de fluctuation définis par la relation | X − µ | < 2 σ Comparer les résutats avec ceux qui auraient été fournis par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans le cas où la loi de probabilité de la variable aléatoire est inconnue. SOLUTION. 1°/ Relation liant les coefficients a, b, c, de la densité de probabilité f(x). Comme la fonction f(x) définie par f(x) = a x² + b x + c sur [ 0 ; 1 ] et

i=1 2 1 2 (2.11) 2.3 La méthode de la distance à un objectif de référence – r→∞: L∞ → − − − x )) f (→ x ) = max (Fi − fi (→ i∈{1··· ,k} (2.12) Pour cette dernière forme, la méthode se transforme en la méthode dite “min-max” (ou méthode de Tchebychev). On peut aussi utiliser la distance relative. Voici la définition de cette distance : LrRel k → − → f (− x) = ∑ i=1 → Fi − fi (− x) Fi r 1 r (2.13) avec 1 ≤ r < ∞. Par exemple, la méthode dite “min-max” relatif est obtenue pour r → ∞ :