Polynôme minimal

de les définir comme de nouvelles fonctions d'étatEnthalpie  Energie libre d’ Helmoltz  Energie libre de Gibbs  AUHG+PV+PV-TS-TS4Potentiels thermodynamiquesLes fonctions h, a et g sont des fonctions d’état.Ces fonctions ont des valeurs minimales à l'état d'équilibre lorsque le système est soumis à diverses contraintes  elles sont appelées potentiels thermodynamiques5A l’équilibreContraintesForme différentielleu est minimaleh est minimalea est minimaleg est minimale6Rappels mathématiquesSoit

simplement avec une feuille et un stylo. Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées : la recherche des zéros ou le calcul d’intégrales de fonctions continues, la résolution de systèmes linéaires, l’approximation de fonctions par des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels, les complexes ainsi que les vecteurs et les matrices. Afin

Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème

arborescentes, et les automates. Chaque chapitre débute avec un rappel de cours d’une vingtaine de pages suivi des énoncés et corrigés des exercices et problèmes. Pour compléter cette structure classique, un chapitre introductif résume les bases minimales de la programmation informatique. Les corrigés sont donnés sous la forme suivante : • une éventuelle étude des stratégies de résolution du problème posé (si celui-ci est complexe), accompagnée de schémas descriptifs de principe ; • une spécification

ξ éq ξ éq Lorsque le système n’est pas en équilibre, l’avancement ξ de la réaction varie : il passe de 0 pour atteindre la valeur ξ éq . La Thermodynamique montre qu’il existe une fonction G(ξ) (enthalpie libre du système chimique) qui est minimale à l’équilibre, c’est-à-dire pour ξ = ξ éq . Ce minimum est unique, si bien que, quelle que soit la valeur initiale de ξ, le système évolue vers l’unique état d’équilibre possible. Dans l’exemple choisi, on aurait obtenu la même composition en mélangeant

5 – 417 5 + 417 ᎏᎏᎏ ; ᎏᎏᎏᎏ , et au-dessus de Δ ailleurs. 4 4 ΄ 0 +∞ 2. a) B(x) = (0,35 – 0,01k) × (1 000 + 100k) car le bénéfice sur 1 L après k baisses de 0,01 € est 0,35 – 0,01k et la quantité vendue est 1 000 + 100k. b) B est une fonction polynôme du second degré. Forme développée : B(k) = – k 2 + 25k + 350. Forme factorisée : B(k) = (35 – k)(10 + k). 25 2 2 025 Forme canonique : B(k) = ᎏᎏᎏ – ΂ k – ᎏᎏ ΃ . 4 2 c) D’après la forme canonique, la valeur maximale de B(k) 2 025 25 est ᎏᎏᎏ = 506

existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n–1 tel que : ∀ i, P(xi) = f(xi) 6 6 quelconque. Alors il On réfléchira à une démonstration directe avant de consulter la suite. On verra que la question est loin d'être évidente. définie par :  P(x1)  Φ : P →  ...     P(xn)  On vérifie trivialement qu'il s'agit d'une application linéaire. Les espaces de départ et d'arrivée ont même dimension. Φ est injective ; en effet, soit P tel que Φ(P) = 0. Alors P, polynôme de degré inférieur

978-2-10-053787-7 Table des matières Avant-propos c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 1 : Mathématiques IX 1 1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques 1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12

. . . . . . . . 195 195 195 196 197 197 197 198 6 TABLE DES MATIÈRES B Bases de Gröbner B.1 Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1.2 Relation d’ordre sur les polynômes de K [x1 , . . . , xn ] B.1.3 Division d’un polynôme par une suite de polynômes. B.2 Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle et Dominique Goyette Table des matières Introduction Chapitre 1. Quelques rappels 1. Les ensembles 2. Arithmétique sur les nombres réels 3. Les polynômes Chapitre 2. Équations et inéquations 1. Les équations 2. Les fractions algébriques 3. Intervalles et inéquations Chapitre 3. Étude graphique de fonctions Introduction 1. Éléments de l’étude des fonctions 2. Opérations sur les fonctions 3. Rôle des paramètres a, b, h