Polynôme minimal

K-espace vectoriel des fonctions de classe C k (I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie. • Exemples Exercice 1.1 On considère une suite (Pk )k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans N on a deg Pk = k. 1) Montrer que pour tout n dans N la famille (Pk )0 2) Montrer que (Pk )k∈N est une base de K [X ]. n k n est une base de Kn [X ]. 1) Soit (l1 , . . . , ln ) dans K tel que (1) n k=1

année Autres structures algébriques 1re année 138 141 Relations 1re année Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 128 VI Table des matières 46 47 Exponentielle complexe 1re année 144 48 49 Polynômes 1re année 149 153 Fractions rationnelles 1re année Nombres complexes et géométrie plane 1re année 147 Partie 4 – Algèbre linéaire et multilinéaire 50 51 52 53 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Structure d’espace

Fractions rationnelles 1re année Polynômes 1re année Partie 4 – Algèbre linéaire et multilinéaire 52 53 54 55 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Structure d’espace vectoriel 1re année et 2e année 166 60 61 Déterminants 1re année 193 Dimension d’un espace vectoriel 1re année et 2e année Réduction des endomorphismes 2e année 197 169 Applications linéaires 1re année et 2e année 62 173 Polynômes annulateurs 200 2e année 63 178

que   peut prendre le signal à un instant t donné.          Les codes présentés avant sont bivalents (codés par deux tensions électriques), donc: 8         V = 2.         2. Moment élémentaire.        Le moment élémentaire, généralement noté Tm, est la durée minimale (en secondes) pendant  laquelle l'émetteur doit fixer le signal physique pour que le récepteur soit à même de le reconnaître  et de le traiter.         3. Vitesse de modulation.         La vitesse de modulation (ou rapidité de modulation), généralement notée Rm

= 1/(D-x)+1/x = (x+D-x) / ((D-x)x) = D / (x(D-x)) On obtient donc x²-xD+f’D = 0, polynôme du second degré Δ= D² - 4Df’ ; considérons Δ>0 → deux solutions x1= LA= (D-√(D²-4Df’)) / 2 x2= LA’= D+√(D²+4Df’)) / 2 Or d= LL’= x2-x1= √(D²-4Df’) donc f’= (D²-d²) / 4D Le terme « suffisamment éloigné » signifie que l’écran se trouve à une distance minimale de 4f Dans le cas du schéma 1, on relève : f’1= 49,8cm Δf’1lecture= 2x½ = 1mm Δf’1netteté= (50,6-48

famille libre et génératrice et on a : (xi )i∈I est une base ssi ∀x ∈ E, ∃!α ∈ K (I) x = i∈I αi xi Soit e = (ei )i∈I une famille de vecteurs de E. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1. e est une base de E. 2. e est une famille génératrice minimale pour l’inclusion. 3. e est une famille libre maximale pour l’inclusion. Toute sous-famille d’une partie libre est une partie libre et toute sur-famille d’une partie génératrice est une partie génératrice. L’image par une surjection linéaire d’une

Xcas au lycée Renée De Graeve & Bernard Parisse Université de Grenoble I Xcas, au départ un logiciel de calcul formel, permet aujourd’hui de faire de l’algorithmique, de la géométrie interactive et analytique dans le plan et l’espace et propose un tableur formel, d’où son nom de “couteau suisse des mathématiques”. Il s’agit d’un logiciel libre, disponible sous Windows, Mac OS et Linux, la version à jour se récupère en tapant xcas sur un moteur de recherche ou directement depuis le site de Xcas

Pour tout nombre réel x, on pose A( x ) = 3x 3 + 4 x 2 + x . Déterminer le signe de A( x ) suivant les valeurs de x. Solution On peut factoriser A( x ) en utilisant le facteur commun x : A( x ) = x ( 3x 2 + 4 x + 1). La parenthèse contient le polynôme du second degré 3x 2 + 4 x + 1 pour lequel ∆ = 4 et dont les racines sont donc x 1 = −4 − 2 −4 + 2 −1 = −1 et x 3 = = . 2× 3 2× 3 3 Comme 3 est positif, la parenthèse est positive en dehors des racines. x Signe de x Signe de 3x

−0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −1 −0.8 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figure 1.2 – Le polynôme p(z, d) pour trois valeurs de d prés de zéro (d = −0.07, 0, 0.09). 1.1.1 Problèmes bien/mal posés La notion de problème bien/mal posé a été introduite pour la première fois par Hadamard [3]. Afin de faciliter la présentation dans l’analyse

prolongement au chapitre 6 où elles sont appliquées à la description du principe de causalité en physique et à la modélisation des filtres linéaires : relations de Kramers- Kronig, filtres à phase minimale, relations de Bayard-Bode, théorème de Paley-Wiener. Les fonctions de Bessel, chapitre 7, et les polynômes orthogonaux, chapitre 8, sont étudiés en vue de leur application à la résolution d’équations différentielles et d’équations aux dérivées partielles (chapitre 9). Cet ouvrage ne prétend pas