Processus de Poisson

Institut national de statistique et d'économie appliquée Cycle des ingénieurs d'Etat Module Processus stochastiques et Files d'attente Filières Statistique-Economie, Statistique-Démographie :1ère année, Semestre2 Élément : Files d’attentes Support de cours donné par le Pr. K. Rahhali pour les Filières Stat-Economie et Stat-Démographie Année universitaire 2014-2015, Semestre 2 (Document résumant les grands axes de l’élément et ne pouvant en aucun cas remplacer les séances de cours en présentiel)

susceptibles. Chaque infecté a une période de contagion qui suit une loi I (moyenne i variance σ 2 ) indépendante de celle des autres. Et pendant cette période il rencontre un autre individu donné suivant les instants de saut d’un processus de Poisson d’intensité λ/n. Tous ces processus sont indépendants entre eux et des périodes de contagion. Ainsi, pendant temps dt, la probabilité qu’un infecté rencontre un individu initialement susceptible vaut λ. On appellera En,m (λ, I) une telle épidémie. Un des paramètres

Math´ematiques de l’assurance Simulation de processus de ruines Younes ATSAMNIA Dian KANF Enseignant : Philippe SOULIER Table des matieres 1 Introduction et presentation des donnees 2 2 Modelisation des inter-arrivees 2 3 Modelisation du co^ut des sinistres 6 4 Probabilite de ruine 8 1 Introduction et presentation des donnees Ce rapport a pour but d'etudier les incendies industriels au Danemark entre le 1er janvier 1980 et le 31 decembre 1990. Dans un premier nous modeliserons

C.IV. Files d’attente La théorie des files d’attente est un grand domaine d’application des processus aléatoires. Exemples pratiques d’utilisation : * E-commerce : connection à un serveur, * Online banking : capacité d’un call center, * Agence bancaire : nombre de guichets. Une file d’attente est constituée de a) Un flux d’arrivée qui représente les instants où arrivent les clients (terme générique représentant aussi bien des pièces de fabrication, des véhicules, des

2 Sommaire Liste d’abréviations et des symboles Liste des figures 1 Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2 Processus de Poisson 2.1 Processus de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2 Processus de Poisson homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Processus de Poisson non-homogène . . . . . . . . . . . .. . 10 3 Domaines d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4 La réparation de défaillance . . .

téléphoniques et étendue plus récemment aux réseaux IP ; ils sont essentiels pour comprendre la transmission dans les réseaux de télécommunication et les performances qui en résultent, à savoir : * La modélisation des durées d'appels * Le processus d’apparition et de fin d’appel * Les taux de blocage * La mise en attente Dans la plupart des cas les réseaux de files d’attente n’ont pas une solution simple et ceci provient de la difficulté d’étudier les propriétés des flux à l’intérieur

au cours de la tranche e horaire i. Question 1. Expliquer pourquoi, dans le cadre des centres d’appels t´l´phoniques, le processus de ee Poisson et la loi exponentielle sont bien adapt´s pour mod´liser respectivement le processus d’arriv´e e e e des clients et le temps de service. Quelles limites voyez-vous ` cette mod´lisation ? On supposera a e par la suite que : – le processus d’arriv´e est poissonnien de taux λi dans la tranche i (i = 9h − 9h30, 9h30 − e 10h, · · · ) – le temps de service est exponentiel

fait que les arrives des clients ont lieu intervalles alatoires plutt qu’ intervalles fixes. De plus, certaines commandes requirent un temps de traitement plus long. En d’autres termes, les processus d’arrive et de service ont un degr de variabilit lev, et suit un processus cumulatif. PROCESSUS CUMULATIFS Des vnements se produisent l’un aprs l’autre travers le temps; nous definissons: N(s, t) = nombre d’vnements se produisant entre les instants s et t; N(t) = nombre d’vnements

NOVANCIA 2ème année Le processus de Poisson Exemple : Les arrivées des automobiles à un péage entre 13h et 15h ont été observées pendant une certaine période. On constate que : Il y a en moyenne une arrivée toutes les minutes. Les arrivées au cours d'une période (ici une minute ) sont indépendantes des événements survenus au cours des autres périodes. Dans un intervalle de temps d'une minute, il n'est pas impossible mais rare qu'un autre automobiliste se présente. Le nombre moyen

a. positives ou nulles g´n´rales ? . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.6 H´t´rog´n´it´ dans le mod`le collectif, lois m´langes . . . . . . . ee e e e e e 2.6.1 Propri´t´s g´n´rales des lois m´lange . . . . . . . . . . . . ee e e e 2.6.2 Lois Poisson-m´lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.3 M´lange de lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.4 Lois compos´es m´lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Approximation du mod`le individuel par le mod`le collectif