Processus p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 28 30 32 32 33 34 35 . . . . . . 39 39 41 42 44 45 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques 1 Généralités sur les processus à temps continu . . . . . . . . 2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Intégrale stochastique et calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . 4.1 Construction de l’intégrale

Mention Ingénierie Economique et Statistique et Mention Monnaie et Finance Année Universitaire 2009-2010 1 TD-1. Processus stationnaires 1. Calculer l’espérance, la variance, la covariance et l’autocorrélation des processus suivants. Conclure sur leur stationnarité et inversibilité. (a) xt = εt − εt−1 (c) xt = xt−1 + εt (d) xt = φ1 xt−1 + εt − θ1 εt−1 . 2. Soit un processus aléatoire εt distribué selon une loi normale N (0, 1). (a) Construire les séries AR(1) et AR(2) simulées définies par:

• 2.2 Modèle binomial de COX-ROSSRUBINSTEIN • 2.3 Théorème général de tarification neutre risque • 2.4 Modèle de courbe de taux HO et LEE INSEA Devolder 5 PARTIE 3 : Calcul stochastique • • • • • • 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Motivation Processus stochastiques en temps continu Le mouvement brownien Intégration stochastique – Lemme de ITO Equations différentielles stochastiques Théorème de GIRSANOV INSEA Devolder 6 3 PARTIE 4 : Modèles en temps continu • 4.1 Modèle brownien

int´rˆt. La plupart des r´sultats du chapitre 3 ont ´t´ inspir´s par ces discussions. ee e ee e L’´tude du passage math´matique de la description discr`te a la description continue a e e e ` n´cessit´ d’approfondir mes connaissances en processus stochastiques, o` les discussions e e u avec Wendelin Werner et les conseils de Rama Cont ont ´t´ tr`s utiles. Ensuite, la mise ee e ii Remerciements en ´vidence de l’applicabilit´ de l’op´rateur de Dirichlet-Neumann aux ph´nom`nes

seulement de son état à la période k−1. Un tel système s'appelle une chaîne de Markov ou un processus de Markov. Dans la suite du texte, les mots soulignés sont définis dans un glossaire en annexe. 10 Définition 1 : Processus stochastique On s’intéresse à l’évolution d’un phénomène au cours du temps. Cette évolution est aléatoire, on va la représenter par une famille de variables aléatoires. 15 Un processus stochastique (ou aléatoire) est alors : {Xt ; t ∈ T} Où : – Xt est une variable aléatoire

l’entreprise est en défaut et on a VE,T = 0 sinon on a VE,T = VA,T −X. La valeur de marché VA des actifs de l’entreprise au temps t est déterminée par un processus stochastique de mouvement géométrique brownien : dVA,t = µ dt + σA dWt VA,t où µ est la moyenne du rendement des actifs, σA est l’écart type du rendement des actifs, Wt est un processus de Wiener standard. La solution de l’équation différentielle est : VA,t = VA,0 expσA Wt +(µ− 2 σ 1 2 )t La valeur VE de l’option d’achat à la maturité

(Universit´ e Paris II S´ / eSORBONNE ries temporelles Universit´ es) 1 / 11 Plan du cours I - Processus al´ eatoires stationnaires I.1 - Introduction I.2 - D´efinition d’un processus al´eatoire I.3 - Fonctions d’autocovariance et d’autocorr´elation I.4 - Processus AR(1) ou processus markovien lin´eaire I.5 - Processus AR(2) ou processus de Yule I.6 - Processus AR(p) I.7 - Processus MA(q) I.8 - Processus ARMA(p, q) I.9 - Op´erations sur les s´eries I.10 - Annexe 1: syst`eme vectoriel AR(1) et multiplicateurs

112 3.6 La loi du Chi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.8 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.9 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.10 Processus de Wiener (ou mouvement brownien) . . . . . . . . . . 133 3.11 Problèmes et exercices pour l’Ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . 136 ii TABLE DES MATIÈRES 4 EDO

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille (Xt

fonction de répartition G (x) un nombre P c tel que : P c = H [G (x)]. Si G λ(x) et la fonction de répartition associer à λ tel que : Pr = H [G λ (x)], mais elle est partiellement ou complètement inconnu et donc P r du paramètre λ est impossible à déterminer. Ce qui implique que les compagnies sont obligées de réclamer une prime collectif P c même si elle devra la modifier ultérieurement en fonction de la sinistralité. Les rapports existant entre P r et P c : Pour se faire, on doit déterminer la