Produit scalaire canonique

. . . . . 7 7 8 9 2 Espaces topologiques 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Densit´e, hom´eomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Topologie-produit, topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 14 3 Espaces complets et espaces compacts 3.1 Compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Compacit´e . . . . . . . .

Variables al´eatoires . . . . . . . . . . A.4 Quelques in´egalit´es utiles . . . . . . A.5 Mesures σ-finies . . . . . . . . . . . . A.6 Moments d’ordre p, espaces Lp et Lp A.7 Variance, covariance . . . . . . . . . A.8 Ind´ependance. Mesures produits . . A.9 Fonction caract´eristique . . . . . . . A.10 Fonction g´en´eratrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Produit scalaire 11.1 Expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laiss´ de e cˆt´, en le signalant, la notion de filtre qui ` ce niveau introduirait plus de oe a confusion qu’autre chose mais qui apr`s coup ne pr´sentera pas de difficult´ e e e majeure pour l’´tudiant ayant

:::; f n) (a) = detDf (a) 6= 0 D(x1 ; ::: ; xn ) Di¤érentielle d’ordre supérieure La di¤érentielle d’ordre r, 2 r +1, peut se dé…nir par récurrence comme di¤érentielle d’ordre 1 de la di¤érentielle d’ordre r 1. On utilise pour cela l’isomorphisme canonique entre l’espace Lp (Rn ; F ) des applications p-linéaires de Rn ::: Rn dans F et l’espace L(Rn ; Lp 1 (Rn ; F )), pour p r. Dans le cas où la di¤érentielle d’ordre r est continue sur U, on dit que f est de classe C r (U). Lorsque les di¤érentielles

Opérations sur les parties d'un ensemble : réunion, intersection, différence, passage au complémentaire. Partition d'un ensemble. Notation A \ B pour la différence et E \ A ou A ou CA pour le complémentaire d'une partie A de E. E Lois de Morgan. Produit cartésien d'ensembles. Relation binaire sur E, relation d'équivalence, relation d'ordre. Ordre partiel, ordre total. Pour A partie non vide de E ordonné : notions de majorant et de minorant, de plus grand élément (maximum), et plus petit élément

5.4 5.5 Multiset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 OGF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 EGF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S´ries rationnelles (rep´sentations lin´aires et aspect e e e 5.5.1 Produit de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . automatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 25 27 27 27 28 29 31 32 35 36 36 36 37 37 38 38 40 40

respectivement E et D+ . Les distributions à support borné à gauche sont souvent appelée en physique distributions causales (la variable étant dans ce cas le temps). Elles représentent des phénomènes qui ne peuvent avoir lieu avant la cause qui les produit et par conséquent sont nulles pour t < 0. Ordre d’une distribution La notion d’ordre d’une distribution peut s’avérer utile dans certaines applications. On note DK (Ω) l’ensemble des fonction de D(Ω) ayant leur support inclut dans K ⊂ Ω. Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 17 18 18 19 19 21 24 24 26 28 30 30 30 30 31 32 34 35 35 36 37 38 39 40 Les méthodes scalaires 2.1 La méthode de pondération des fonctions objectif . 2.2 La méthode de Keeney-Raiffa . . . . . . . . . . . 2.3 La méthode de la distance à un objectif de référence 2.4 La méthode du compromis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’énergie, pour tout volume élémentaire V , la variation en temps de la quantité de chaleur est le bilan de ce qui est produit par les sources ou rentre à travers les parois. Autrement dit, on a d dt f dx − c u dx = V V q · ν dσ, (1.1.1) ∂V où ∂V est le bord de V , ν la normale extérieure unitaire au bord ∂V , q le vecteur flux de chaleur et · désigne le produit scalaire de Rd . D’après le théorème de Gauss (ou théorème de la divergence, ou formule de Green), on a q · ν dσ = ∂V div(q) dx