Produit scalaire canonique

H de G est un sous groupe de G si et seulement si : – H est stable par la loi · ; – H contient l’élément neutre ; – ∀ x ∈ H, x−1 ∈ H. Groupe commutatif – (Z/nZ , +) est un groupe commutatif. – l’application pn : Z → (Z/nZ ) , appelée surjection canonique, est x → x mod n un morphisme surjectif de groupes. Générateurs du groupe ˆ avec k ∈ Z et k ∧ n = Les générateurs du groupe (Z/nZ , +) sont les k, 1. c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Groupe monogène – Groupe cyclique – Un groupe

. . . . . . . . . A.2.4 La structure Sparse . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Calculer avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Les constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Op´erations et fonctions portant sur les scalaires 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ bx2 + cx3 + dx4 ; on en x4 d´eduit que a = 1, b = 2, c = 3 et d = −1, et de mˆeme pour la 2`eme ligne, etc. 4 On peut aussi dire que l’image du 1er vecteur de  la  base canonique de R s’obtient en faisant x1 = 1 et 1 x2 = 0 = x3 = x4 , donc la 1`ere colonne de A est 1, puis l’image du 2`eme vecteur de la base canonique de 1   2 R4 s’obtient en faisant x2 = 1 et x1 = 0 = x3 = x4 , donc la 2`eme colonne de A est 1, etc. 0 √     +z −x + 2y x √ √ 1 2. Mˆeme question pour l’application lin´eaire

¡ × Ò Ü· Ò º ÇÒ × Ö ÔÓÖØ Ö Ð³ Ü Ö Ø ÓÒ   ¡ ´ ½µÒ ½   ¾ Ò« On se reporte `a l’exercice POL.19. On cherche `a r´esoudre formellement ¾ Ò« ¾ ´ ·½µ donc « ¾ Ò avec ¾ Òµ   ½ ¾ ´«· ¾ ´«· Òµ × Ò « · ´ ½µÒ ½ ¾ Ò« × Ò´Ò«µ Ò Le produit des racines est donc Ò ½ Ò ½ ¼ Ð ÙÐ Ö Ò ½   ¼ d’o` u la formule ¾ ´«· Ò · ¾ µ × Ò « · ¾Ò Ò« Ò´Ò ½µ ¾Ò ¾ Ò ½ ¼ ¼ Ò ½℄℄ Les racines sont donc § ALGº¿ Ü alors ÜÑ ½ est Ü ¡ ÜÑ ¾ ÜÑ ½ . º POLº½ ¦ Ð ¹Ö ¿℄ ´ ·½µÒ ׺ X–ESPCI PC – 2001

e deux mod`les de voiture. On peut produire 100 voitures du premier type en 6 heures. On peut aussi proe duire 100 voitures du second type en 5 heures seulement. Le nombre d’heures de travail est au maximum de 60 heures par semaine. Les voitures produites sont enlev´es une fois par semaine et doivent ˆtre stock´es dans un d´pˆt de 15 000 e e e e o m2 . Une voiture du type 1 occupe 10 m2 et une voiture du type 2 occupe 20 m2 . La marge (diff´rence entre le prix de vente et le coˆt de la production)

Equations aux d´riv´es partielles d’ordre un e e 3.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . ´ 3.2 Etude du cas g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . e e e e 3.3 Cas lin´aire et quasilin´aire . . . . . . . . . . 3.4 Lois de conservation scalaires . . . . . . . . . 3.4.1 Mod´lisation . . . . . . . . . . . . . . e ´ 3.4.2 Etude de l’´quation de Burger’s . . . . e 3.4.3 Solutions faibles et chocs . . . . . . . . 3.4.4 Application : mod`le de trafic routier . e . . . . . . . . . . . . .

0 avec comme fonction ∆ ε ( t ) possible : 1/ ε t ε /2 ∞ n'est pas une fonction car ∫ δ (t ) dt = 1 , alors que l'intégrale d'une fonction presque nulle partout est nulle. −∞ On va se limiter au cas où : x : scalaire (≡ réel) v : scalaire, et ce sera généralement le temps t f : appelée fonction ( parfois abusivement notamment pour δ(t) ) w : fixé → signal déterministe (≡ non aléatoire) Exemples de signaux monodimensionnels (≡ 1D) : Exemples de signaux complexes (≡ 2D)

. . . BIBLIOGRAPHIE INDEX 264 265 268 269 VIII INTRODUCTION Dans le langage courant, la mécanique est d’abord le domaine des machines (moteurs, véhicules, engrenages, poulies, arbres de transmission, piston...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un mouvement ou bien s’oppose à ce mouvement. Pour les scientifiques, la mécanique est la discipline qui étudie les mouvements des systèmes matériels et les forces qui provoquent ou modifient ces mouvements. Les systèmes matériels étant

Solution 17.7 Dans le cas plus général( d'une extension de corps ) K ⊂ L, on a encore d′ = deg (πA,L ) ≤ d = deg (πA,K ) , le système Ak 0≤k≤d−1 est K-libre dans Mn (K) et on en déduit qu'il est L-libre dans Mn (L) . Supposons qu'il existe des scalaires λ0 , · · · , λd−1 dans L, tels que d−1 ∑ λk Ak = 0. Le K-sous-espace vectoriel V de L engendré par λ0 , · · · , λd−1 étant de dimension k=0 nie, il admet une base e1 , · · · , er et chaque λk s'écrit λk = 0= d−1 ∑ k=0 d−1 ∑ k=0 r ∑ j=1

indication. Le théorème de Bézout donne des entiers ui tels que αi regarder le morphisme x → (x ui n/pi ) de G dans Gi . Groupe de Prüfer Soit p un nombre premier. Montrer que {z : ∃n , zp = 1} est un sous-groupe de × qui n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non nuls. indication. Groupe diédral Montrer que le groupe des isométries du plan laissant stable un polygone régulier à n côtés ne dépend pas (à isomorphisme près) du polygone choisi. Quel est son cardinal ? Quels en sont les sous-groupes