Produit scalaire

. . . Elimination Gaussienne 7 7 10 12 13 16 17 Systèmes homogènes d'équations linéaires 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Quelques dénitions et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le produit matriciel 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Produit scalaire - Premi`ere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Formule de changement de base - Notion de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ex. 1.2 : V´erification de la coh´erence de la d´efinition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5 Sur le caract`ere direct des bases i.e. la notion d’orientation . .

6.1 LE LANGAGE MATRICIEL Cours 16 Aujourd’hui, nous allons voir ✓ La définition d’une matrice ✓ Plusieurs définitions de matrice particulière ✓ La somme de matrices ✓ La multiplication d’une matrice par un scalaire ✓ La multiplication de matrices Définitio n: Une matrice de format est un tableau rectangulaire ordonné de éléments disposés sur lignes et colonnes. rfois, on spécifie la taille de la matrice ici 3 Définitio Une matrice ligne est une matrice de forma n: Exempl e: Définitio

matrices de dimension (p, n) A, B et C : A + B = C aij + bij = cij (1ip, 1jn) 4.2. Produit d’une matrice par un scalaire : Soit les deux matrices de dimension (p, n) A, B et  un scalaire (complexe ou réel) : A = B aij = bij (1ip, 1jn) 4.3. Conclusions Conclusion 1 : On peut aisément montrer que l’ensemble des matrices de dimension (p, n) muni des l’addition usuelle et le produit par un scalaire (R ou C) forme une structure d’un espace vectoriel. Conclusion 2 : Une base de l’espace

· · a2p    famille A de np éléments de K présentée sous la forme d’un tableau de la forme  . . . , noté A = aij 1 i n , . .   . 1 j p . . . an1 an2 · · · anp   où aij ∈ K pour tout (i, j) ∈ 1, n × 1, p . a1j  a2j  Le scalaire aij est appelé coefficient de A de position (i, j). Si j ∈ 1, p , la matrice . est appelée la j ème colonne de A, et    .  i ∈ 1, n , la matrice ai1 ai2 · · · aip est appelée la ième ligne de A. . anj • L’ensemble des matrices de taille

, on trouve plus simplement : grad(f ) = ∇ ⋅ f (25) (26) Entrée : le champ scalaire f Sortie : le champ vectoriel ∇f Note : 2.1 un champ de gradient est encore appelé champ conservatif. Dérivée du champ scalaire dans une direction Soit une direction indiquée par le vecteur :  ex    e =  ey  e   z avec ex2 + ey2 + ez2 = 1 (vecteur de module 1). (27) La dérivée du champ scalaire f dans la direction indiquée par e au point (x, y, z) est la suivante : ∂f = e ⋅ grad

fr R´sum´ — Cet article d´crit une nouvelle classe d’algorithmes e e e d’apprentissage non-lin´aires en ligne avec contrainte de poe sitivit´ sur la solution. Ceux-ci sont appliqu´s au probl`me e e e d’identification distribu´e d’un champ scalaire positif, par e exemple de rayonnement thermique ou de concentration d’une esp`ce chimique, par un r´seau de capteurs. La quese e tion du suivi de l’´volution de la grandeur physique sure veill´e au cours du temps est ´galement consid´r´e. Les

...... 16 Barycentre......................................................................................................... 19 Produit scalaire ................................................................................................. 23 Produit vectoriel................................................................................................ 24 Produit mixte .................................................................................................... 25 Module “Modélisation

2 Sous-espaces vectoriels engendr´s . e 2.3.3 Familles g´n´ratrices, familles li´es, e e e 2.3.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Vecteurs et syst`mes lin´aires . . . . . . . e e 2.5 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Produit scalaire et orthogonalit´ . . . . . e 7 7 8 10 10 10 11 14 14 14 15 17 17 18 20 20 20 22 23 25 27 28 31 31 31 32 32 33 33 34 35 36 36 37 38 38 39 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y2 x2 + y 2 u=x , v =y−x déterminer les fonctions f : R2 → R de classe C 1 solution de l'équation aux dérivées partielles : ∂f ∂f + =f ∂x ∂y Exercice 35 [ 01772 ] Analyse vectorielle On appelle laplacien d'un champ scalaire F de classe C 2 le champ scalaire déni −→ − par ∆F = divgrad F . 2 2 a) Montrer que ∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0, 0)} l'équation aux dérivées partielles ∂f ∂f y −x =0 ∂x