Produit scalaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

complexes, coniques, . . . ) et il n’y aura pas lieu de reprendre ensuite leur ´tude dans le cours e de math´matiques ; d’autres, au contraire, seront revus plus tard dans un cadre plus g´n´ral ou dans une e e e pr´sentation plus th´orique (groupes, produit scalaire, ´quations diff´rentielles, . . . ). e e e e Les deuxi`me et troisi`me parties correspondent ` un d´coupage classique entre l’analyse et ses applications e e a e g´om´triques d’une part, l’alg`bre et la g´om´trie euclidienne d’autre part. e e

02 – vecteur directeur d’une droite : 1. Définition : Une droite (D) est donnée et A et B sont deux point distincts de (D). Le vecteur u = AB est un vecteur directeur de la droite (D). Remarque : Un vecteur directeur n’est jamais nul Autrement dit, le vecteur nul n’est le vecteur directeur d’aucune droite. 2. Propriété : (D) et (D’) sont deux droites, u est un vecteur directeur de la droite (D) et u’ est une vecteur directeur de la droite (D’). Alors : (D) et (D’) sont parallèles

Corrigé des exercices sur les applications linéaires Le texte indique que f est une application linéaire de R2 dans R3. Le texte donne deux vecteurs e1 = [pic]et e2 = [pic]; ces deux vecteurs appartiennent à R2 car ces 2 vecteurs ont deux composantes. On peut noter que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants car e1 n’est pas égal à une constante multipliée par e2. Comme ce sont deux vecteurs indépendants et que l’ensemble R2 a pour dimension 2, les vecteurs e1 et e2 forment une

On considère les matrices A, B et C définies par A =  −4 2  , B =  −2 1  et C =  −14 7   0 7  8 1  24 17        Trouver deux réels x et y tels que xA + yB = C . Page 1/11 jgcuaz@hotmail.com Exercice n°7. Effectuer les produits suivants lorsque c’est possible. Lorsque c’est impossible, dire pourquoi. 2 5  2 5  2 5     2 5  a) b)  4 6× 3 6  3 6× 4 6     4 7 4 7      c) ( −1 1  2 3  e)  0 −1 6    4 5 ) ×  2 4 −2  3 5 3

FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS 1. Dans l’espace vectoriel F(R, R) de toutes les fonctions d´finies sur R ` valeurs r´elles, muni e a e des lois usuelles, ´tudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R) : e F0 = {f | f (0) = 0} , F1 = {f | f (0) = 1} , B = {f born´e} e , S = {f deux fois d´rivable | f + f = 0} e 1 I= E = f continue | 0 f (t) dt = 0 x→±∞ f continue | lim f (x) = 2. On consid`re l’espace vectoriel F(N, R) des suites de nombres r´els

a est un réel, alors aF est une primitive de af sur I. Remarques Les propriétés ci-dessus ont été utilisées "naturellement" dans les exercices précédents. Attention : Une primitive d'un produit ne sera pas obtenue en prenant le produit des primitives, puisque la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Il en est de même pour un quotient. Exercice 08 (voir réponses et correction) Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner toutes les primitives de f sur un intervalle

coefficients de la matrice A. Exemple 2 Si √ 3 °2 A= 1 7 ! et √ ! 0 5 B= 2 °1 alors √ ! 3 3 A+B = . 3 6 3 Par contre si √ °2 B0 = 8 ! alors A + B0 n’est pas définie. Définition 4. Produit d’une matrice par un scalaire ° ¢ ° ¢ Le produit d’une matrice A = a i j de M n,p (K) par un scalaire Æ 2 K est la matrice Æa i j formée en multipliant chaque coefficient de A par Æ. Elle est notée Æ · A (ou simplement Æ A). Exemple 3 Si √ ! 1 2 3 A= 0 1 0 et Æ=2 alors √ ! 2 4 6 ÆA = . 0 2

vecteurs On note v et w deux vecteurs. – u:[a,b,c] : Définit les coordonnées du vecteur u. – u+v : Renvoie les coordonnées de u + v – u . v : Renvoie le produit scalaire de u et de v ( le point est précédé et suivi d'un espace ) Le package load(vect) permet de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. – express(u~v) : Renvoie le produit vectoriel de u et v. Gestion des listes – first[a,b,c,d] : Renvoie le premier terme de la liste, donc a. – second[a,b,c,d] : Renvoie le deuxième terme