Produit scalaire

courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > 0, l’espace Rn sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et . . La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, .

euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé → → direct → ( O, i , j , k ), → → → → d’axes Ox, → Oy, → Oz. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté ( u v ) et leur produit vectoriel u ∧ v . On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques : x = R cos t y = R sin t z = ht L’objet de ce problème est d’étudier les projections orthogonales et coniques

Analyse vectorielle — Étude des champs 2013/2014 CPGE Mathématiques pour la physique ® La norme d’un vecteur est définie par son carré scalaire : → − U → → − − Analyse vectorielle — Étude des champs Note : Selon les normes typographiques actuelles, les grandeurs vectorielles doivent être notées en gras ; → − pour des raisons pédagogiques, elles seront ici notées surmontées d’une flèche : U et non U. On rencontre les deux notations dans les sujets de concours. Les vecteurs

0 1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition On peut multiplier un vecteur par un scalaire Soit un scalaire c ∈ R et un vecteur colonne a de Rn , alors     a1 ca1 .  .  c × a = c ×  .  =  . . . . an can Deux vecteurs lignes (ou deux vecteurs colonnes) peuvent s’additionner s’ils sont de mˆme dimension. e       a1 b1 a1 + b1 . .  .  .  +  .  =  . . . . . an bn an + bn En utilisant la multiplication par un scalaire et l’addition, on peut d´finir une combinaison

Suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. G´eom´etrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 G´eom´etrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Applications de R dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . .

exercices) le chapitre 1 du livre de D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Addison-Wesley, 1999). Celui-ci vous aidera grandement dans la résolution des exercices. Exercice 0.1 (a) Montrez que le produit scalaire et le produit vectoriel sont distributifs. ? (b) Le produit vectoriel est-il associatif ? [(A × B) × C = A × (B × C)] Exercice 0.2 Déterminez l’angle entre les diagonales d’un cube. Exercice 0.3 (a) Démontrez la règle « BAC-CAB » : A × ( B × C ) = B ( A · C ) −

e e e e = 1, m = 1, = 1. Le moment cin´tique e 2 Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennant quelques pr´cautions concernant l’ordre des op´rateurs. e e En utilisant les r`gles de commutation e [x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i [x, px ]f (x) = −i x (5) df d(xf ) − = if (x), (6) dx dx on montre que les

n, alors : A + B = a11+ b11a12+ b12⋯a1n+ b1na21+ b21⋯a22+ b22⋯⋯⋯a2n+ b2n⋯am1+ bm1am2+ bm2⋯amn+ bmn Produit matriciel : Si A est une matrice de format m x n et B une matrice de format n x p, on définit le produit de A par B comme étant la matrice C de format m x p dont le coefficient cij sur la ième ligne et la jème colonne est donné par : cij∶=k=1n aik . bkj Propriété du produit matriciel : Si A, B et C désignent trois matrices, sous réserve de comptabilité entre leurs formats, on

l’intervalle [0, n]. 3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n, ˜ x,α l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de Vn à un instant k < n (i.e. sachant Fk ) ? Solution : < ., . > désigne le produit scalaire canonique de Rd . 1. La valeur du portefeuille au matin du premier jour est sa valeur initiale x, et elle au aussi égale à B0 β1 + < α1 , S0 >. Donc β1 est déterminé par x et α1 . Soit n ≥ 1. La valeur du portefeuille au soir du n-ème jour (après

  méthodes   pour   en   déterminer   son  sens  trigonométrique et sa valeur. S'il  y  a plusieurs  forces,  il  faut  additionner  les  moments  en  prenant en compte leur signe. I. MÉTHODE DU PRODUIT VECTORIEL : Cette méthode fonctionne dans la majorité des cas. Elle consiste à faire le produit vectoriel de  vecteur distance (entre le point et le point d'application de la force) et le vecteur force. Avec l'énoncé I(10;12;0), J(12;15;0) (en m) et  150 ; 30 ; 0 (en N). F     Ici cela donnerait :