Pseudo-aléatoire

UNIVERSITAIRES: 12 2005 EDITION: 1.01.4043 LS.B.N: 9961-00918.5 Dép&t légal: 3168/2005 TflBLE DES MATIERES CHAPITRE 1 Statistique descriptive.. Exercices... „..„.,. Solutions des exercices CHAPITRE 2. Notions de calcul des probabilités- Variables . aléatoires.. Exercices... ..,., Solutions des exercices CHAPITRE 3. Principles lois de probabilité -Convergences Exercices Solutions des exercices CHAPITRE 4. Echantillonnage - Estimation Exercices Solution des exercices CHAPITRE 5. Tests statistiques Exercices

}n , où on utilise l’information contenue dans Xi pour explii=1 i=1 quer la valeur de Yi . Si on a n observations indépendantes {(Xi , Yi )}n , on considère le i=1 modèle Yi = m(Xi ) + i , i = 1, ..., n où { i }n ∼ (0, σ 2 ), sont des variables aléatoires indépendantes de moyenne 0 et de i=1 variance σ 2 . On veut approximer la fonction m(.). Pour approximer la fonction m(.), on essaye d’estimer la courbe de l’espérance conditionnelle yf (x, y)dy m(x) = E(Y |X = x) = f (x) où f (x, y) est la densité

décision utilisés. I - les différents types de décisions. A -- Classification des décisions selon leur degré de risque. Du point de vue du degré de risque attaché à la prise de décision, on parle de décision « certaines », de décisions « aléatoire », et de décision incertaines. 1-- Les décisions « certaines » : ces décisions se caractérisent par un risque nul dans la mesure où l'on connaît le résultat de la prise de décision dans 99 % des cas. Notons toutefois qu'un risque totalement nul

Quelleestcetteloi ? b) Commentpouvait-onjustifier, sanscalcul, les deux résultats ci-dessus ? 4) Montrer queE(Y) < E(n avecégalitési et seulement n = 2. si 5) Écrire un prograrnme permettantle calcul et I'affichage de la valeur prise par la variable aléatoire Xlors de I'expériencedécritedanscettepartie. 

C'est-à-dire que, si l'on désigne par X(dt) l'événement le prix change pendant l'intervalle de temps (innitésimal) dt , Pr (X(dt)) = δdt On peut interpréter ces changements de prix aléatoires comme résultant d'un signal aléatoire que recevrait l'entreprise, l'incitant à modier ses prix. 1) Montrez que la variable aléatoire représentant le temps d'attente h avant la prochaine modi- cation a pour densité δ exp(−δh). 2) On note xt le (logarithme du) prix xé en t par une entreprise qui a changé son prix

concret : ..................................................................................... 53 III-4 Simulation des variables aléatoires : ................................................................... 54 III-4-1 Simulation d’une loi uniforme sur [0,1] :........................................................ 55 III-4-2 Simulation d’autres variables aléatoires: .......................................................... 55 a- Simulation de variables gaussiennes : .........................

est de décrire et de résumer de façon formalisée des informations collectées de manière exhaustive. ( Traitement des données Les autres notions : - calcul de probabilités et études des lois probabilistes : analyse des événements aléatoires - statistiques mathématiques et statistiques inférentielles II- PRESENTATION DES DONNEES 2.1.1- LA POPULATION ET LES UNITES STATISTIQUES La statistique étudie de manière quantitative des ensembles nombreux : ils portent le nom

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes. 1 La probabilité de gagner chaque partie est égale à . 4 Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2 près. c. Déterminer l’espérance de X. 2. Le joueur doit payer 30 porte

dira « face étrangère »). 1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face étrangère. a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face

1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p. 4 3 On sait que p(A ∪ B) = et p A = . 5 5 La probabilité de l’évènement B est égale à : a. 2 5 b. 2 3 c. 3 5 a. 1 2 2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 04. On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l’évènement (X t ), notée p(X t ), est donnée par p(X t) = t 0 λe−λx dx. La valeur approchée de p(X > 5) à 10−2 près