Quantile

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Tables statistiques 11.1 Quantiles de la loi N1 (0, 1) . . . . . . . . . . . . . 11.2 Fonction de r´partition de la loi N1 (0, 1) . . . . . e 11.3 Quantiles de la loi du χ2 . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Quantiles de la loi de Student . . . . . . . . . . . 11.5 Quantiles de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Population2 Estimate Std. 4959954.70 -39391.24 101.21 Error 3077865.80 16919.21 14.79 statistique t 1.611 -2.328 6.842 Pr(> |t|) 0.1207 0.0291 5.61e-07 On peut donc tester l’homosc´edasticit´e. Comme R2 = 0.8963, nR2 = 26×0.8963 = 23.30. De plus le quantile d’ordre 95% d’une variable al´eatoire chi-carr´e `a q − 1 = 3 − 1 = 2 degr´es de libert´e vaut χ22;0.95 = 5.991, on rejette donc l’hypoth`ese d’homosc´edasticit´e. 2.7.4 Test de Goldfeld-Quant Le test de Goldfeld-Quant s’applique quand on soup¸conne

simplifiant, on obtient que βj − βj ∼ tn−p , −1 σε [(X X) ]jj o` tn−p est une variable al´atoire de Student ` n − p degr´s de libert´, ce qui implique que u e a e e   βj − βj Pr −t1−α/2,n−p ≤ ≤ t1−α/2,n−p  = 1 − α, −1 σε [(X X) ]jj o` t1−α/2,n−p est le quantile d’ordre 1 − α d’une variable al´atoire de Student ` n − p degr´s de libert´. u e a e e Apr`s quelques calculs, on a e Pr βj − t1−α/2,n−p σε [(X X) −1 ]jj ≤ βj ≤ βj + t1−α/2,n−p σε [(X X) −1 ]jj = 1 − α, ce qui d´finit l’intervalle

num´rique de r´duction des donn´es e e e 3 Param`tres num´riques de r´duction e e e 3.1 Les param`tres de position . . . . . e 3.1.1 Le mode . . . . . . . . . . . . 3.1.2 La moyenne . . . . . . . . . . 3.1.3 La m´diane . . . . . . . . . . e 3.1.4 Le quantile . . . . . . . . . . 3.2 Les param`tres de variabilit´ . . . . e e 3.2.1 L’´tendue . . . . . . . . . . . e 3.2.2 L’intervalle inter-quartiles . . 3.2.3 L’´cart moyen . . . . . . . . . e 3.2.4 La variance . . . . . . . . . . 3.2.5 L’´cart-type . .

statistiques dont on connaˆ la loi asymptotique, qui a ıt permettent de tester des contraintes sur les coefficients, en particulier leur nullit´. On obtient ` chaque fois une e a statistique asymptotiquement χ2 , on compare donc les valeurs obtenues aux quantiles du χ2 . Rapport de vraisemblance Dans le cadre de l’estimation par maximum de vraisemblance, le test le plus naturel consiste ` construire un rapport de vraisemblance. Pour tester une contrainte de rang p − r sur θ de a dimension p, on utilise le

annuel 2011 – février 2011 13 rue Cambon 75100 PARIS CEDEX 01 - tel : 01 42 98 95 00 - www.ccomptes.fr LA COFACE 211 La Cour réitère, en conséquence, sa recommandation : il est souhaitable de définir le niveau de capital notionnel et le quantile de risque que l’État souhaite couvrir avec les capitaux propres du compte des procédures publiques. Les prélèvements annuels sur la trésorerie du compte des procédures publiques pourraient ainsi être déterminés à partir de critères objectifs

la grande table, on note que ce 99e centile est 2.326. Autrement dit, si Z suit la loi normale standard, alors P[Z ≤ 2.326] = 0.99. Rappelons que le 99e centile de la loi normale standard est dénoté z0.01. On a donc z0.01 = 2.326. Exemple 5. Le quantile d’ordre 1−γ de la loi N(µ, σ2) est donnée par la formule µ+zγ σ. Par exemple, le 95e centile de la loi N(200, 400) est égal à 200+ z0.05× 20 = 200+1.645× 20 = 232.9. 1Fonction de répartition de la loi normale standard Φ(z) = ∫ z −∞ 1√ 2π e−x2/2

moyen : (π2 , 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 37 Histogramme des distances de Hausdorff modifiées : influence vecteur moyen : (π2 , π 3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 938 Histogramme des valeurs des écarts des quantiles : q1,0.97 − q2,0.88, évaluation du risque de première espèce . . . . . . . . 58 39 Visualisation de la déformation d’une famille peu étendue suivant ϕ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 40 Visualisation de la déformation

– – – – – Quelques opérations valeur absolue abs() racine carrée sqrt() trigonométrie cos(), sin(), tan(), asin(), acos(), atan() exponentielle exp, log(), log10() statistiques max(), min(), range(), mean(), median(), var(), IQR(), quantile(), sd(), cov(), cor() somme produit sum(), prod(), diff(), cumsum(), cumprod(), cummin(), cummax() tri sort() order() rank() renverse rev() arrondis round(x,digits=2), floor(), signif() mathématiques beta(), gamma(), choose(), factorial(),

Les caractéristiques de tendance centrale 7.1.1 Les quantiles On appelle quantile ou fractile d'ordre α (0 ≤ α ≤ 1) d'une variable aléatoire X dont la fonction de répartition est F (x), la valeur xα telle que F (xα ) = α. xα s'appelle quantile d'ordre α. Remarque 12. Dans le cas où X est une variable discrète, F (xα ) = α s'entend P (X < xα ) = α. Nous énumérons ici quelques quantiles particuliers. La médiane La médiane est le quantile d'ordre α = Me −∞ 1 2, en d'autres termes la médiane