Quantile

descriptive, un décile est chacune des 9 valeurs qui divisent un jeu de données, triées selon une relation d'ordre, en 10 parts égales, de sorte que chaque partie représente 1/10 de l'échantillon de population. Le décile est calculé en tant que 10-quantile (consulter pour les méthodes). Donc : le seuil du 1er décile sépare le jeu de données entre les 10 % inférieurs et le reste des données le seuil du 9e décile sépare les 90 % inférieurs des données des 10 % supérieurs. On emploie aussi

outils statistiques d’étude des inégalités des revenus et de patrimoine Le revenu médian (2014 : 1 675€) partage la distribution des revenus des ménages en deux parts égales : 50% des ménages sont en dessous du revenu médian et 50% au-dessus Les quantiles (déciles, quintiles, quartiles, centiles…) : regroupent les ménages par « tranches ». Les ménages sont classés par ordre croissant de revenus ou des patrimoines, on les divise en groupes de taille égale (10% des ménages pour les déciles, 20% pour

de « quantiles ». Ex. : on met sur une échelle les revenus, du plus haut au plus bas, ensuite on crée des sousgroupes homogènes, en termes de nombre de personnes. On aura dans le premier quantile, par exemple les 10% des personnes les plus riches. Ensuite on prend chaque quantile et on calcule la moyenne des revenus de chaque quantile. On a donc la moyenne du revenu des personnes les plus riches. Ensuite on peut comparer les quantiles d'un pays à l'autre. Plus le rapport entre le quantile des

Xcas », « Calc » ou les calculatrices programmables d’une part, les définitions de nos programmes d’enseignement d’autre part, traduisent correctement la même idée. Mais pour éviter de recourir à la bonne définition, qui, se référant à la fonction quantile, est très technique et serait incompréhensible pour les élèves, on fait des choix simplificateurs, autrement dit, on adopte des conventions. Malheureusement, ces conventions varient d’un pays à l’autre. Voilà pourquoi les systèmes de calcul utilisés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 11 3 Paramètres caractéristiques d’une variable : paramètres de dispersion 3.1 3.2 Etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2.1 3.2.2 Quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Déciles . . . . . . . . .

la VaR 99% est la perte maximale que l’on subira dans les 99% des cas les plus fr´quents. Dans le cas d’une perte qui suit une loi de fonction de e r´partition F sur l’horizon de temps consid´r´, nous en d´duisons le lien direct entre la VaR et le quantile e ee e de cette loi de distribution au seuil q : V aRq = −F −1 (1 − q) Dans le cas d’une perte qui suivrait une loi normale d’esp´rance µ et d’´cart-type σ, nous obtenons la e e relation suivante : V aRq = −µ + σN −1 (1 − q) Cette relation est remarquable

(low-severity). Dans le cas contraire, la banque pourrait faire faillite assez rapidement, ce qui est un non sens dans une perspective de mesure du risque opérationnel. 4 10 Définition 1 (Valeur en risque ou OpVaR) : La charge en capital est le quantile à 99,9% de la distribution de la perte totale ou agrégée (obtenue une fois que les distributions de fréquence et de sévérité sont calibrées). Avec N le nombre aléatoire d’événements, la perte totale est L alors : = ∑n=0 ς n , où ζn représente

d’un seuil de confiance, qui n’est rien d’autre qu’un quantile élevé de la distribution des pertes (99.9% par exemple). Le choix de ce paramètre repose sur plusieurs considérations : • L’aversion au risque de la banque : Le degré de prudence des dirigeants ou de leur aversion au risque est le critère le plus naturel sur la base duquel le seuil de confiance peut être déterminé. Si la banque est très adverse au risque, elle choisit un quantile élevé de telle sorte que l'estimation des pertes potentielles

356 348 420 535 136 133 146 194 204 233 317 348 363 472 622 119 114 166 196 188 267 313 355 435 548 606 104 140 171 196 235 269 318 422 491 559 508 118 145 180 236 227 270 374 465 505 463 461 115 150 193 235 234 315 413 467 404 407 390 moyenne, quantiles, plot, box-plot, histogramme ? Un exemple : Nbre (en milliers) de passagers des vols internationaux par mois ` de 1949 a 1960 ´ ´ Donnee ordonnee 104 135 163 184 211 237 277 315 355 404 461 622 112 135 166 188 218 242 278 317 356 405 463

dépasser. La VaR est calculée suivant une distribution de probabilité des gains durant T périodes ou d’une distribution des pertes durant T périodes. Lorsqu’on use de la distribution des gains, la VaR est égale à moins le gain au (100 – X)ième quantile de la distribution . Ainsi, les régulateurs vont calculer la couverture du risque de marché comme un multiple de la VaR, calculée ici avec un horizon temporel de dix jours et à un seuil de confiance de 99% (la perte a 1% de chance d’être dépassée