R2-D2

particules sur dS viennent en dS ≈ dS. Donc la masse ayant traversé dS pendant dt est dans le cylindre de base dS et de hauteur QH. Ainsi la masse traversant dS pendant dt est : |d2 m| = ρ(Q, t) dS.QH − → − = ρ(P, t) dS|→(P, t). N | dt v On choisit le signe tel que d2 m > 0 si la particule rentre dans le domaine D, et ainsi : d2 m = −ρ(Q, t) dS.QH → − − = ρ(Q, t) dS→(Q, t). N dt v En intégrant sur toute la surface, on obtient la masse dm traversant Σ pendant dt : dm = On déduit alors : ∂ρ dτ ∂t − −→ ρ→

v−u ya O u xa xb A Fig. 1.9 – Norme euclidienne et distance associée : d2 (A, B) = ||v − u||2 . Variables multiples Arnaud Guyader - Rennes 2 10 Chapitre 1. Fonctions de plusieurs variables − → Rappelons le cas classique vu au collège (figure 1.9) : soit A(xA , yA ) défini par OA = u et B(xB , yB ) −→ − défini par OB = v. Alors par définition de la distance associée à la norme euclidienne, on a : − − → → −→ − − d2 (u, v) = ||v − u||2 = ||OB − OA||2 = ||AB||2 = (xb − xa )2 + (yb − ya )2 .

(BC). Les plans (EIJ) et (ABC) sont sécants suivant la droite (MN). Nous sommes dans les conditions d’utilisation du théorème du toit : (MN) // (BC). CALCULER DANS L’ESPACE 36 En cm2, Ꮽ = π × 32 × 15 = 135 π ≈ 424,1. 37 Corrigé dans le manuel. 38 4 π r2 = 4 π r3 ⇔ r = 3. Le rayon de la sphère est 3 cm. 3 39 1. ᐂ = 1 × 10 × 10 × 10 = 500 soit environ 166,7 cm3. 3 2 3 2. [AC], [CF] et [FA] sont des diagonales de trois carrés superposables. ACF est donc équilatéral. AC = CF = FA = 1012. 40 (BC) est

DOSSIER A Comptabilisation d’opérations courantes DOSSIER B Déclaration de TVA DOSSIER C Opérations d’inventaire DOSSIER D Suivi d’une action de formation DOSSIER PAGE 2 2 et 3 3 4 A1 à A6 B1 et B2 C1 à C5 D1 à D4 7 à 10 11 et 12 13 à 15 16 et 17 R1 R2, R4, R5 R3 R6 à R8 R9 R10 R11 18 19 20 21 22 23 24 TOTAL 1. 2. ANNEXES ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE BARÈME Code Pages Code Pages 20 4 20 5 25 6 35 100 AVERTISSEMENTS Les documents à compléter et à rendre

sommet qui se trouve à 2 500 mètres d’altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R 3 , ou bien atteindre directement le sommet (voir schéma). S R3 S 6 3 R3 4 5 6 R1 D R2 R2 S S R1 5 4 R3 S D Itinéraires Arbre 30 Devoir 05 – MA01 – 10 On sait que : 1 La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R 1 est -- . 3 3 La probabilité de monter directement au sommet depuis R 1 est --

sin x est une On en déduit que la fonction yp définie par yp (x) = cos5 x + 4 32 4 8 solution particulière de (E). λ(x) = Finalement, les solutions de l’équation (E) sont les fonctions y définies par : y(x) = λ cos x + µ sin x + yp (x), avec (λ, µ) ∈ R2 . CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 37 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 EXERCICE 32 analyse Énoncé exercice 32 Soit l’équation différentielle : x(x − 1)y + 3xy + y = 0. 1. Trouver les solutions de cette équation

R (ou sur C). e o e Sur R les polynˆmes irr´ductibles sont de degr´ 1 ou de degr´ 2 sans racines o e e e r´elles. Sur C tous les polynˆmes irr´ductibles sont de degr´ 1. e o e e D1 (x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3) a 3 z´ros simples dans R, D2 (x) = (x − 1)3 (x + 1) a un e z´ro simple, −1, et un z´ro triple, 1, D3 (x) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) n’a pas de z´ros e e e r´els et a 4 z´ros simples complexes. e e 3. si a ∈ K est un pˆle de F (x) d’ordre n, il lui correspond la somme des

dont les prix en e sont p1 , p2, . . . , pn . Nous pouvons alors prendre le prix de n’importe quel bien, par exemple le bien n, et former n ratios qui expriment le prix des biens en termes de ce bien qui devient alors le numéraire : p1 p2 pn r1 = ; r2 = ; ... rn = =1 pn pn pn Nous pouvons interpréter chaque r j, , j = 1, 2...n ; comme étant le nombre d’unités du bien n qu’on doit échanger contre une unité du bien j : les taux de change en termes de 4 marchandises avec n comme numéraire. Chaque

Par exemple, la densité totale moyenne ρT divisée par ρc est ΩT : ÉC LE O ΩT ≡ LY PO ρT . ρc CH TE IQU N (1.20) E 24 PO LE ÉCO 0 dR1 = H 0R1 dt LY T 1 R2 HN EC R1 - R2 UE IQ Chapitre 1. Introduction d ( R1 - R2 ) = H 0 ( R1 - R2 ) dt R1 2 dR2 = H 0 R2 dt Fig. 1.5: Si un observateur dans la galaxie 0 voit une expansion universelle avec un taux H0 , un observateur dans la galaxie 1 ou 2 verra une expansion avec le même taux H0 . Cela provient

5 p1 + 3 (1-p1) ≥ 10 p1 – 4(1-p1) Et 5p1 + 3(1-p1) ≥ 4p1 + 4(1-p1) D1 = Ensemble des p1 tel que : 2p1 + 3 ≥ 14 p1 – 4 et 2p1 ≥ 4 D1 = Ensemble des p1 tel que : 12p1 ≤ 7 et 2p1 ≥ 1 D1 = Ensemble des p1 tel que : p1 ≤ 712 et p1 ≥ 12 D2 = Ensemble des p1 tel que : p1 ≥ 712 et 14p1 – 4 ≥ 4 = p1 ≥ 712 et p1 ≥ 47 = p1 ≥ 712 car 712 est supérieur à 47 D3 = ensemble des p1 tel que : p1 ≤ ½ et p1 ≤ 47 D3 = ensemble des p1 tel que p1 ≤ ½