R2-D2

acoustiques . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.4.2 Equation des ondes dans R . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 M´thode des moyennes sph´riques (d ≥ 2) . . . . . e e 3 ´ 2.4.4 Equation des ondes dans R . . . . . . . . . . . . . ´ 2.4.5 Equation des ondes dans R2 . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 M´thode de Duhamel pour l’´quation des ondes non e e 2.5 Classification des e.d.p. lin´aires d’ordre 2 . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

document 3 Dans le graphique, il faut remplacer la valeur « 1 000 » par « 1 600 ». Chapitre 5 Page 95 d’ d Dans la question 3, il faut lire : r2 =  . Chapitre 6 Page 111 La seconde question 3 doit être numérotée 4. Page 121, problème 4 Dans l’énoncé, il faut lire : « ...Cette salle possède deux portes en bois, de hauteurs respectives d1 = 2,0 m et d2 = 1,0 m (la surface de ces deux portes est de 4,0 m2), et deux baies vitrées, de surfaces respectives S1 = 16 m2 et S2 = 10 m2. On a disposé dans

variationnel de la forme δJ = 0 avec J donné par l’équation (2.5) peut se ramener à un problème purement différentiel. On peut en effet montrer que u(t) est également solution de l’équation différentielle dite d’Euler-Lagrange d ∂L − ∂u dt ( ∂L ∂u ˙ ) d2 + 2 dt ( ∂L ∂u ¨ ) + · · · = 0. ♣ Exemple. – Par exemple si y désigne la position d’une masse ponctuelle m attachée à un ressort de raideur k, alors le mouvement y(t) est la solution de δJ = 0, avec J= 1 2 ∫ t2 t1 (my 2 − ky 2 )dt

l’intervalle interquartile, il contient 50 % des valeurs de la série. 18 1 • Représentation graphique et numérique des données 1.2 Séries numériques à une dimension Pour k 5 10, les quantiles sont appelés déciles, il y a neuf déciles D1 , D2 ... 10 % des valeurs de la série sont inférieures à D1 ... Pour k 5 100, les quantiles sont appelés centiles, il y a 99 centiles, chacun correspondant à 1 % de la population. Application Le diagramme en boîte à moustaches ou box-plot (Tukey) permet

3) e e avec t = 0). 3.3 3.3.1 Intervalle d’espace–temps Analogie avec l’espace On a l’habitude de mesurer une distance d dans une base orthonorm´e en 3 e dimensions. Cette distance est invariante par rotation. On d´finit alors d telle e que d2 = x2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 . (3.5) 30 CHAPITRE 3. QUADRI–VECTEURS ET ESPACE–TEMPS c.t lent R ide vitesse non physique car v > c x Fig. 3.4 – Vitesse et diagramme de Minkowski c.t 2 c.t’ 3 lu m iè re t0 rap t’

instances de la classe String. 80 MAHDI Walid 3- Le Concept Objet de Java 3.2 Approche Objet (6/6) (6/6) Un objet : est un élément d’une classe; a une durée de vie et une identité. POO : Java L’identité d'un objet (Oid) : Une constante : R1, R2 Unique et indépendante de la valeur des propriétés de l'objet; invisible à l’utilisateur. 81 MAHDI Walid 3- Le Concept Objet de Java 3.3 Attribut de classe, attribut d’instance Les données membres d’une classe sont appelées dans le jargon

ez = r · k ˆ ˆ Cas général, onde PPM se propageant selon k : ˆ E(r, t) = E0 cos(ωt − k k · r ) = E0 cos(ωt − k · r) ˆ e z si k=ˆz (19) ˆ Fronts d’onde (même phase) : des plans perpendiculaires à k Déphasage entre deux points r1 , r2 : ∆φ = φ1 − φ2 = k · (r2 − r1 ) = k · r1→2 OPPM : remplit tout l’espace (modèle mathématique !) 21 Amplitude complèxe d’une OPPM e Propagation selon +ˆz E(r, t) = E0 cos(ωt − kz) = Re E0 e− j kz e+ j ωt Amplitude complexe ˜ E(r, ω) = E0 e− j kz ˆ Propagation

question 2 pour 2010) M 1  M 0   Di i i, Di  M 0 * (1  b)i (1  r )i Di 1  M 0 * (1  b)i 1 (1  r )i 1  M 0 (1  b)i (1  r )i (1  b)(1  r )  Di (1  b)(1  r ) D1  100* (1  0,18)(1  0,15)  100* 0,82 * 0,85  100* 0,697  69,7 D2  D1 * 0,697  48,6 D3  33,9 D4  23,6 D5  16,4 D6  11,5 D7  8 D8  5,6 D9  3,9 D10  2,7 i D i  223,8 M 1  323,8  k  3,3 On retrouve bien la valeur du multiplicateur trouvée pour 2010 avec la formule macroéconomique Question

produire en date 2, Le monopole maximise alors son profit en fonction de pi et p2, les prix aux deux dates : piDi(pi) — Ci(Di(pi)) + ô \p2D2(p2) — C2 (D2(p2),Di(pi))] où 0 < ô < 1 est le facteur d’escompte (qui représente le prix du temps) À la date t = 2, le monopole égalise donc revenu marginal et coût marginal (comme un monopole mono-produit) : p2 — C2 (D2 (p2) ; Di (pi)) = 1 p2 e2 Et à la date 1 : pi — Ci — ô= ^ ^ pi — Ci < 1 pi ei pi ei Ainsi, le monopole demande en première période un prix moins

supérieurement) sur A si et seulement si, pour tout a ∈ R, l’ensemble {x ∈ A : f (x) > a} (resp. {x ∈ A : f (x) < a}) est ouvert dans A. I.4.23. Prouver que f : R −→ R est semi-continue inférieurement si et seulement si l’ensemble (x, y) ∈ R2 : y f (x) est fermé dans R2 . Formuler et démontrer une condition nécessaire et suffisante analogue pour une fonction f semi-continue supérieurement sur R. I.4.24. Démontrer le théorème de Baire suivant. Toute fonction semi-continue inférieurement (resp. supérieurement)