R2-D2

estimateurs de moindres carrés 5.3. Moments des estimateurs de moindres carrés 5.4. Le théorème de Gauss-Markov 5.5. L’estimation de la variance des erreurs 5.6. Décomposition de la variance: les coefficients de détermination R2 et R2* 5.7. Problèmes particuliers: multicolinéarité, biais de spécification, variables muettes iii VI. 5.8. Estimateurs par maximum de vraisemblance 5.9. Exemple numérique Moindres carrés sous contraintes linéaires 6.1. L’estimateur

nulle. 6) Si chaque élément d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant est exprimé sous la forme d'un binôme, le déterminant peut être écrit comme somme de deux déterminants. Exemple 2.2.4. : a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 + d1 b1 c1 a2 + d2 b2 c2 = a2 b2 c2 + d2 b2 c2 a3 b3 c3 d3 b3 c3 a3 + d3 b3 c3 7) Si deux lignes ( ou colonnes ) d'un déterminant sont proportionnelles, la valeur du déterminant est nulle. Exemple 2.2.5. : 1 2 2 1 2 3 =0 1 2 1 8) La valeur d'un déterminant est conservée

À propos d’une fonction f définie sur r´2, 4s, nous avons les informations suivantes : x f pxq ´2 0 ´1 1 0 2 1 1 2 3 3 4 (1) f est croissante sur r´5; 0s, 4 5 (2) f p´1q “ ´2, (3) f p5q “ 6. (4) le maximum de la fonction f sur l’intervalle r2, 4s est atteint pour x “ 3, Répondre par «vrai», «faux» ou «on ne sait pas» aux questions suivantes : (1) f p3q “ 2. (5) f est décroissante sur r3, 4s, Exercice 44 À partir du graphe ci-contre de la fonction f , répondre aux questions suivantes.

569 kg/s 2.49 0.82 Vitesse sp´cifique e Nombre de Mach d´bitant e Nombre de Mach en bout de pale (bas´ sur D2 ) e Nombre de Reynolds Donn´es g´om´triques de la roue e e e ns Π1 Π2 Π3 = = = = 0.88 0.1 2.4 2.5 105 Diam`tre de sortie e Hauteur de pale en sortie Nombre de pales Angle m´tal en sortie e Donn´es g´om´triques du diffuseur e e e D2 b2 R Zp β2p = = = = 202.2 mm 10 mm 8+8 −32◦ R3 R4 b3 b4 S Zp = = = = = 220 mm 309

série : R = R1 + R2 R1 R2 Figure 5 — Résistances en série. • résistances en parallèle : 1/R = 1/R1 + 1/R2 R1 R2 Figure 6 — Résistances en parallèle. 1.1.d Théorème de Millman Le théorème de Millman est tout simplement la loi des nœuds exprimée en termes de tensions par l’intermédiaire de la loi d’Ohm : ∑R k =1 n Uk 0 k =0 d’où on déduit facilement que : U0 = ∑R k =1 n n Uk k 1 ∑R k =1 k . U3 R3 U10 U1 R1 U0 U30 U20 U2 R2 Figure 7 — Nœud

-0.078 0.055 0.083 8 F 8 9 F 9 10 F 10 6 F 7 F 6 7 5 -0.030 -0.8211 0.7149 -0.4615 1.2581 0.064 -0.001 CONSTANTE 0.093575 .............................................................................. R2 = 0.57923 F = 91.35686 D2 = 5.49176 T2 = 1018.69159 .............................................................................. 11 F 11 0.090 -0.074 -0.150 -0.056 -1.4830 1.3133 -1.1383 -3.3193 1.0274 0.2169 Score= 6.90 F1 - 0.82 F3 + 1.25

L’ordre est-il total ? 3. Comparer les énoncés : “ f est majorée”, et “{ f } est majoré”. 4. Soit ( fi )i∈I une famille majorée de fonctions de E. Montrer qu’elle admet une borne supérieure. [003037] Exercice 3038 sup ◦ inf et inf ◦ sup Soit f : R2 → R une fonction bornée. On définit les fonctions : g : R → R,t → sup{ f (t, y) tq y ∈ R} h : R → R,t → inf{ f (x,t) tq x ∈ R} Montrer que g et h sont bornées, puis comparer sup h et inf g. [003038] Exercice 3039 Ordre lexicographique On note E =

centre du système. 2.3.3 Stigmatisme approché : Réalisé dans les conditions de l’approximation de Gauss. 2.3.4 Lentilles minces : 3 2 1 0 F • R1 • O1 S1 S1 R2 O2 F ′ • • -1 -2 -3 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Une lentille est mince si son épaisseur e = S1 S2 est très négligeable devant R1 ,R2 et | R2 − R1 | Dans ce cas S1 ≡ S2 ≡ O : centre optique de la lentille OF = f distance focale objet . OF ′ = f ′ CPGE/B.Mellal Page -15-SAID EL FILALI- distance focale image

b(x) = x + 1, donc b est affine. b. c(x) = x – 1, donc c est affine. d(x) = (x + 1)2, donc d n’est pas affine e(x) = (x – 1)2, donc e n’est pas affine. f(x) = (x – 1)2 – (x + 1)2 = 4x, donc f est affine. d1 passe par A et B : f 1(x) = 5x – 4 1 3 d2 passe par B, C et E : f 2(x) = − x + 2 2 d3 passe par A et C : f 3(x) = 3 x–4 5 d4 passe par D et E : f 4(x) = – 1,5 9 10 a. y Cf 15 1. y 1 0 1 x 1 0 b. A(0 ; 0), B(1 ; – 3) et C(2 ; – 4) sont trois points de la courbe qui ne

pression varie linéairement avec z. Ainsi on a ∆P 1 d dvz dP =K= =η (ρ ) dz L ρ dρ dρ c Jimmy Roussel 5.1. Écoulement de poiseuille. avec comme contraintes : vz (R) = 0 et dVz dρ (0) fini. 45 On obtient après intégration : vz (ρ) = ∆P 2 (ρ − R2 ) 4ηL On obtient un profil de vitesse parabolique. La vitesse est maximale sur l’axe et nulle sur les parois. La formule de poiseuille relie le débit volumique avec la différence de pression imposée. Calculons le débit volumique : Q= →dS → = − − v