Racine carrée

EXE La séquence précédente met un nombre x donné au carré, multiplie par 4 le résultat et rajoute 6. Elle correspond donc à la fonction g définie par g ( x ) = 4 x 2 + 6. On peut toujours réaliser ce calcul et donc prendre pour ensemble de définition de la fonction g l’ensemble ‫ ޒ‬des nombres réels. b) x² EXE +6 EXE EXE La séquence précédente met un nombre x donné au carré, ajoute 6 au résultat, et prend ensuite la racine carrée du résultat. Elle correspond donc à la fonction h définie

EXE ×4 +6 EXE La séquence précédente met un nombre x donné au carré, multiplie par 4 le résultat et rajoute 6. Elle correspond donc à la fonction g définie par g ( x ) = 4 x 2 + 6. On peut toujours réaliser ce calcul et donc prendre pour ensemble de définition de la fonction g l’ensemble des nombres réels. b) x² EXE +6 EXE EXE La séquence précédente met un nombre x donné au carré, ajoute 6 au résultat, et prend ensuite la racine carrée du résultat. Elle correspond donc à la fonction h définie par

version distance est immédiate à partir de la version norme. Calculons. . . x+y 2   ¬ ¡ = x + y ¬x + y = x 2 + 2(x|y) + y 2 Cauchy-Schwarz x 2 +2 x . y + y 2 =   x + y ¡2 . Un petit coup de racine carré, et l’inégalité triangulaire est démontrée. Notre preuve montre par ailleurs que cette inégalité est une égalité si et seulement si (x|y) = x . y . Si c’est le cas, alors en particulier x et y sont colinéaires via (i). Quitte à permuter x et

quelques exemples choisis, évidemment très fragmentaires, pour illustrer notre propos. Archimède est l’un des premiers à utiliser des suites pour résoudre des problèmes de quadrature, ce dernier terme signifiant étymologiquement la construction d’un carré de même aire qu’une surface donnée1 . Aujourd’hui, il faut tout simplement entendre par là le calcul de l’aire de la surface en question. C Archimède développe une méthode dite d’exhaustion, qui consiste, pour calculer une telle aire, à encadrer

savons toujours pas ce que vaut S6 avant de l’avoir calculé, et pour savoir si nous avons vu juste, il faut se diriger vers un raisonnement de portée générale : si au k-ème carré parfait, à savoir k2 , on ajoute le (k + 1)-ème nombre impair, à savoir 2k + 1, on obtient k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 qui est bien le (k + 1)-ème carré parfait. Tout semble coller et nous pouvons donc n démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N∗ , (2k − 1) = n2 . k=1 1 • Pour n = 1, S1 = (2k − 1) = 1 = 12 et la formule proposée

droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée. Connaître et utiliser les propriétés des droites parallèles, des droites perpendiculaires. Reconnaître, construire un triangle rectangle. Reconnaître, construire un rectangle, un carré. 101 11 Symétrie axiale ● ● ● ● ● Reconnaître des figures symétriques par rapport à une droite. Définir la médiatrice d’un segment. Définir, construire le symétrique d’un point par rapport à une droite. Connaître et utiliser les propriétés

n > 0 est log10 n + 1. Radicaux Exercice 7 [ 03626 ] [correction] [Lemme de Gibbs] a) Justifier ∀x > 0, ln x Exercice 1 [ 01832 ] [correction] √ √ a) Etablir que pour tout x, y ∈ R+ , y − x |y − x|. b) Ce résultat est-il encore vrai en terme de racine cubique ? x−1 b) Soient (p1 , . . . , pn ) et (q1 , . . . , qn ) des n-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant Logarithmes n 1 x − x2 2 n pk = Exercice 2 [ 01827 ] [correction] Etablir, pour tout x 0, l’encadrement k=1 Etablir

vecteurs colonnes (ou lignes) indépendants ; notation rg(A). Le rang est la dimension de la plus grande matrice carrée de déterminant non nul extraite de A. Le noyau de A est l’ensemble des vecteurs X tels que AX = 0 ; notation Ker(A). Un réel ou un complexe l est une valeur propre de A et V ∈ Rn (ou Cn ), V non nul, un vecteur propre associé si AV = lV . Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme det(A − X I ) = 0. L’ensemble des valeurs propres de A est le spectre de la matrice ; notation

- CASADESUS Pétrut CONSTANTINE Introduction I - Boucles I-A - Transformer une boucle en une procédure récursive I-B - Transformer deux boucles imbriquées en une procédure récursive I-C - Calculer la factorielle d'un entier I-D - Remplir un carré en diagonale I-E - Sources des exemples II - Les chaînes II-A - L'inversion d'une chaîne de caractères Evaluation d'un nombre écrit en chiffres romains II-C - Palindromes II-D - Evaluation d'une chaîne de caractères formée d'une somme de nombres

complétion de carrée La complétion de carrée est une méthode de factorisation de trinôme de second degré. Elle s’utilise lorsque le trinôme en question n’est pas factorisable par la méthode de somme produit. Prenons l’exemple suivant : x2+6x-32 Ce trinôme est infactorisable (ne peut pas être factorisé) par somme-produit. Nous utiliserons donc la complétion de carré pour réussir à mettre en deux facteurs le trinôme ci-dessus. Le but de la complétion de carrée est d’en fait, créer un trinôme carré parfait