Rayon de convergence

est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ;

zQ(x)= (-l)V , Zh (n)= z(-lrx’ k=n+l pour n E N et on pose R,(n)= -1 k+’ E(-lrxk. k=O On considère par ailleurs la série C (-k et on pose : r, = E ( ) k k21 k=n+l convergence de la série c r, et de calculer sa somme. ni20 Y +1 pour n E N. On se propose d’établir la 1.2.1. Justifier la convergence de la série ET ( k2l -1 k+’ 1 et par suite l’existence de r, pour tout nE N. 1.2.2. Soit (n,m) E N* avec n 5 m et ZO= [0, l[. 1.2.2.1. En remarquant que k=n =Z&(x)-R

de convergence . . . . . . . . . . . e 2.1.4 Exemple fondamental : la s´rie g´om´trique . . . . . . e e e 2.1.5 Autres exemples de s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Op´rations sur les s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.2 S´ries ` termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 2.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.2 Condition n´cessaire et suffisante de convergence . . . . e 2.2.3 Crit`res de convergence pour

(3 − x) 1. Décomposer f (x) en éléments simples et en déduire la primitive G de f définie sur l’intervalle ] − 1; 3[ telle que G(1) = 0. On pose f (x) = 2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon de convergence. 3. Déduire de ce développement la valeur de G(3) (0). Corrigé exercice 2 1 . (x + 1)2 (3 − x) 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : 1 1 1 1 1 1 + × + × × . f (x) = 2 16 x + 1 4 (x + 1)

n=1 n−s z n de la variable complexe z, o` s est un nombre u r´el donn´. e e I.1 D´terminer le rayon de convergence de cette s´rie enti`re. e e e I.2 Dans cette question, z = eiθ d´signe un nombre complexe de module 1. e +∞ I.2.1 Etudiez la convergence de cas o` s ≤ 0. u n=1 n−s z n dans le cas o` s > 1 ainsi que dans le u +∞ I.2.2 Dans le cas o` 0 < s ≤ 1, ´tudier la convergence de u e n=1 n n−s z n pour z = 1. I.2.3 Toujours dans le cas o` 0 < s ≤ 1, on suppose que z =

suivante: e e e Eλ : xy + (1 − x)y − λy = 0. o` la fonction y est une fonction inconnue deux fois continˆment d´rivable de la variable x et u u e λ un r´el donn´. e e 1. Il est admis qu’il existe une fonction fλ , somme d’une s´rie enti`re de rayon de convergence e e R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0, (fλ (0) = 1), solution dans l’intervalle ] − R, R[ de l’´quation diff´rentielle Eλ . Cette fonction est d´finie par la relation : e e e ∞ fλ (x) = 1 + n=1 an xn . (a) Montrer que

fonctions : celles de la forme ou dites séries entières. On s’intéresse dans un premier temps aux propriétés de la somme d’une série entière (domaine de convergence, continuité,…), on verra ensuite comment exprimer des fonctions usuelles comme somme des séries entières. I. Définition et domaine de convergence d’une série entière : 1. Définition : On appelle série entière réelle (resp. complexe) toute série de fonctions avec réel (resp. avec complexe)

. . 7.1.2 Le domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Substitution d’un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Domaine de convergence uniforme . . . . . . . .

= an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ; Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout = lim n−→∞ n−→∞ n + 1 fn (x) x ∈ R ; donc ∆ = R. Exemple 2. ∞

parallèlesavant les objets, et ces faisceaux sont convergents,divergents ou parallèles suivant les cas après la tra-versée des objets. b. Les cas où la lumière converge sont les cas 2 et3. c. Pour les objets en matière plastique des cas 1 et4 : les rayons émergents sont divergents.Pour les objets en plastique des cas 5 et 6, lesrayons émergents restent parallèles entre eux.Pour les objets en plastique des cas 2 et 3, lesrayons émergents sont convergents.Les objets dont les bords sont plus minces quel’épaisseur