Série convergente

Chapitre 2 Tests de Non Stationnarité et Processus Aléatoires Non Stationnaires Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 3 Dans le premier chapitre, nous avons vu qu’une des première étape de la démarche de modélisation d’une série temporelle consiste à vérifier la stationnarité du processus générateur de données. Généralement, on se limite à vérifier la stationnarité faible ou stationnarité du second ordre. Nous allons à présent étudier de façon de plus précise ce qu’est un processus

abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Étude de la somme d’une série de Fourier lacunaire quadratique La fonction q définie, pour tout x ∈ R, par q(x) = ∞ n=1 eiπn x iπn2 2 est étudie par Riemann il y a environ 150 ans, avec l’idée que cette fonction est continue sur R mais nulle part dérivable. L’étude est

exogène • a0 et a1 sont les paramètres du modèle ou encore les coefficients de régression Économétrie Francesco Quatraro – 2010/2011 3 Le modèle de régression simple • Nous pouvons distinguer deux types des spécifications • Les modèles en série temporelle, les variables représentent des phénomènes observés à intervalles de temps réguliers • Par exemple la consommation et le revenu annuel de 1985 et 2005 pour un pays donné: – Ct=a0+a1Yt t=1985,…,2005 Économétrie Francesco Quatraro

II.A.2) Toutes les fonctions de Q sont comparables, et continues. xτ ∈ Q . II.A.3) Si x ∈ Q , alors ∀τ ∈ IR ∞. Concours Centrale-Supélec 2005 3/6 MATHÉMATIQUES I II.A.4) Si k=0 ∞ ∑ ∞ Filière MP c k < + ∞ et ω k ∈ IR , la série de fonctions x = k=0 ∑ ck eω k converge normalement sur IR et x ∈ Q . II.A.5) II.A.6) Q est stable par produit des fonctions. I Soit x, x ∈ Q , à valeurs réelles, et y : IR → C continue. Montrer que y o x ∈ Q (le montrer

conditionne le choix de la modélisation que l’on doit adopter. En règle générale, si l’on s’en tient notamment à la méthodologie de Box et Jenkins, si la série étudiée est issue d’un processus stationnaire, on cherche alors le meilleur modèle parmi la classe des processus stationnaire pour la représenter, puis on estime ce modèle. En revanche si la série est issue d’un processus non stationnaire, on doit avant toutes choses, chercher à la ”stationnariser”, c’est à dire trouver une transformation stationnaire

monotone, alors la suite (un )n∈N converge. Correction [005221] Exercice 3 **IT Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑nk=1 1k (série harmonique). 1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n) et en déduire limn→+∞ Hn . 2. Pour n entier naturel non nul, on pose un = Hn − ln(n) et vn = Hn − ln(n + 1). Montrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers un réel γ ∈ 12 , 1 (γ est appelée la constante d’E ULER). Donner une valeur approchée de γ à 10−2 près. Correction [005222] Exercice

Obtenez une formule analytique pour y t , en utilisant : a) la th´orie des ´quations de r´currence a coefficients constants. R : n 2 + n + 1 e e e ` b) la m`thode des fonctions g´n´ratrices, decomposition en fractions partielles et l’expansion e e e en serie des puissances : ∞ n 1 n+k−1 z = , |z| ≤ a Ck−1 (a − z)k an+1 n=0 R : a(z) = 1+z 2 (1−z)3 = 2 (1−z)3 − 2 (1−z)2 + 1 (1−z) 2.2 Quelques types de d´composition e Apr`s avoir d´tect´ graphiquement quelles sont les composantes

. . . . . . . . . 3.3.2 Cas particulier : le modèle trimestriel de Buys-Ballot . . . . . . 3.3.3 Généralisation des formules de Buys-Ballot (tendance linéaire) 3.4 Application au tra…c voyageur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Série agrégée par trimestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Analyse sur données mensuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Propriétés statistiques des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Prévision à un horizon h . .

fallacieuses, puis formalisée par Engle et Granger en 1987, et en…n par Johansen en 1991 et 1995. Une série est intégrée d’ordre d s’il convient de la di¤érencier d fois avant de la stationnariser. Dé…nition 2 La série (Xt ) sera dite intégrée d’ordre d (d ¸ 1) si ¢d¡1 Xt n’est pas stationnaire et ¢d Xt est stationnaire. Une série stationnaire sera dite intégrée d’ordre 0. Remarque 2 Soient (Xt ) une série stationnaire et (Y t) intégrée d’ordre 1, alors (Xt + Y t ) est intégrée d’ordre 1. Toutefois, si

les fonction holomorphes sur un ouvert comme étant les fonction de classe C 1 dont la dérivée partielle ∂ z¯ est identiquement nulle. Les propriétés classiques des séries entières montrent que : Exemple II.1.1 (Exemple fondamental). La somme d’une série entière est holomorphe sur son disque de convergence. T HÉORÈME II.1.1 (Théorème de Cauchy). Soient Ω un ouvert de C et D une droite. Soit f une fonction continue sur Ω holomorphe dans Ω \ D. Alors la 1-forme différentielle f (z)dz est localement