Série convergente

C et f : U → C. est développable en série entière au voisinage de chaque point de U . Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle. Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble non discret (suite convergente, segment, voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U.  Toute série entière est analytique dans son disque de convergence

variables 45 2. Erreurs de mesure 45 3. Relation fonctionnelle 46 VII. Conclusion de la partie introductive 49 D. PARTIE 2 SERIE TEMPORELLE 51 I. Présentation des objectifs de la section 52 II. FAITS Stylisés 53 1. Composante d’évolution déterministe à long terme de la série 53 2. Mémoire du processus : persistance des chocs (Hystérèse) et autocorrélation des valeurs de la série 53 3. Volatilité variable : clusters de volatilité 54 4. Leptokurtisme & fats tails : fortes probabilités de valeurs

des séries convergentes. Il définit une fonction analytique comme une fonction dont la valeur en chaque point peut être donnée par la somme d’une série entière convergente. L’usage est de définir une fonction [pic] par une région [pic], appelée domaine de définition de [pic] et par une formule qui permet de déterminer les valeurs de [pic] lorsque la variable [pic] parcourt [pic]. Etant donné une fonction [pic] sur un domaine [pic] de (, Weierstrass considère le développement en série entière de

n’a pas d’autre solution que la solution nulle. Question 3 Montrer que (5)-(6) possède une solution non nulle si et seulement si ∃ ∈ N∗ tel que = 2 . Pour fixé, déterminer la dimension de l’espace des solutions et en expliciter une base. 2 La série de Fourier de la condition initiale la fonction égale à sur [0, ] , impaire et prolongée par 2 -périodicité à R On note tout entier. Question 4 Tracer la courbe représentative de de variation. sur [−5 /2, 5 /2] et en préciser le tableau

Bessel-Parseval et le fait que les Sj convergent aussi au sens L2 vers f . 2π 7. Digressions : (a) de toute suite L2 -convergente on peut extraire une sous-suite ponctuellement presque partout convergente. Mais en fait (L. Carleson) on a convergence ponctuelle p.p. de Sj vers f sans avoir à passer à une sous-suite (on n’en donne pas la démonstration dans le cours). (b) continuité L2 des translations. Énoncé analogue pour L1 . (c) si f est continue les gN convergent uniformément vers f . Énoncé analogue

R est alors z0 + Cr,R 1.2. Séries de Laurent. = {z ∈ C, r < |z − z0 | < R} Theorem 1.4. (Laurent) Soient z0 ∈ C et deux réels 0 < r < R. Toute fonction f ∈ H (z0 + Cr,R ) admet dans la couronne z0 + Cr,R , un développement en série, dite série de Laurent f (z0 + h) = n∈Z ck hn avec, pour tout ρ ∈ ]r, R[ cn = z0 +Cρ f (z) (z − z0 ) n+1 dz Démonstration. On pose g (z) = f (z + z0 ) et on démontre le théorème pour g ∈ H (Cr,R ) et z0 = 0. Soit C = Cr,R et h

kπx ) + B sinh( )) n n ∀y ∈ [0, 1], w2 (0, y) = 0 2 Pour s'en convaincre, se reporter à la preuve de l'unicité de la solution u section suivante 6 On en déduit A = 0. La dernière condition porte sur C2 .On développe à présent en 2 −y série de Fourier la fonction g : y → y 2 dénie sur [0, 1]. Cette fonction est prolongeable par imparité sur [−1, 0]. On a alors : ∞ 2 g(y) = k=1 αk sin(kπy) avec αk = 0 (y 2 − y) sin(kπy)dy Une double intégration par parties donne l'expression

convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n 1. ∑+∞ n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n C2n n nn z (ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b) n4 n z ∈ (R∗+ )2 Correction [005745] Exercice 2 Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée.

26/08/14 EXERCICE 2 analyse Énoncé exercice 2 1 . (x + 1)2 (3 − x) 1. Décomposer f (x) en éléments simples et en déduire la primitive G de f définie sur l’intervalle ] − 1; 3[ telle que G(1) = 0. On pose f (x) = 2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon de convergence. 3. Déduire de ce développement la valeur de G(3) (0). Corrigé exercice 2 1 . (x + 1)2 (3 − x) 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve

CHAPITRE III : ELEMENTS D’ANALYSE DES SERIES TEMPORELLES 31 I- STATIONNARITE 31 1. Définitions et propriétés 31 2. Fonctions d’autocorrélation simple et partielle 32 3. Tests de stationnarité et de « Bruit Blanc » 33 II- MODELISATION DE LA SERIE STATIONNAIRE : IDENTIFICATION DU PROCESSUS GENERATEUR 36 1. Identification d’un modèle AR(p) 37 2. Identification d’un modèle MA(q) 37 3. Identification d’un modèle ARMA (p, q) 37 III- LA METHODE DE BOX ET JENKINS 38 CHAPITRE IV : LA