Exo7
Suites
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile

** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1 ***IT
Soient (un )n∈N une suite réelle et (vn )n∈N la suite définie par : ∀n ∈ N, vn =

u0 +u1 +...+un
.
n+1

1. Montrer que si la suite (un )n∈N vers un réel , la suite (vn )n∈N converge et a pour limite . Réciproque ?
2. Montrer que si la suite (un )n∈N est bornée, la suite (vn )n∈N est bornée. Réciproque ?
3. Montrer que si la suite (un )n∈N est croissante alors la suite (vn )n∈N l’est aussi.
Correction

[005220]

Exercice 2 ***
Soit (un )n∈N une suite réelle. Montrer que si la suite (un )n∈N converge au sens de C ÉSARO et est monotone, alors la suite (un )n∈N converge.
Correction

[005221]

Exercice 3 **IT
Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑nk=1 1k (série harmonique).
1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n) et en déduire limn→+∞ Hn .
2. Pour n entier naturel non nul, on pose un = Hn − ln(n) et vn = Hn − ln(n + 1). Montrer que les suites
(un ) et (vn ) convergent vers un réel γ ∈ 12 , 1 (γ est appelée la constante d’E ULER). Donner une valeur approchée de γ à 10−2 près.
Correction

[005222]

Exercice 4 **
Soit (un )n∈N une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel n, on a ∑nk=0 uk u1k+1 = n+1 u0 un+1 .
Correction

[005223]

Exercice 5 **
1
Calculer limn→+∞ ∑nk=1 12 +22 +...+k
2.
Correction

[005224]

Exercice 6 ***
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. On pose u0 = a et v0 = b puis, pour n entier naturel donné,
√
n un+1 = un +v et vn+1 = un+1 vn . Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes et que leur limite commune
2
est égale à

b sin(arccos( ba )) arccos( ab ) .

Correction

[005225]

1

Exercice 7 **
Limite quand n tend vers +∞ de
1.

sin n n , n 2. 1 + 1n ,
3.
4.

n! nn ,
E ((n+ 21 )2 )
E ((n− 12 )2 ))

,

√ n 2 n ,
√
√
6. n + 1 − n,