Sinus hyperbolique

= 1, de remplacer z par , ou inversement. z ➥ Exercices 2.10, 2.13, 2.16. Essayer de faire intervenir les nombres complexes, en utilisant la formule : ∀ x ∈ R, cos x + i sin x = ei x . Pour résoudre une question portant sur des cosinus et des sinus Pour transformer 1 + ei θ ou 1 − ei θ , (θ ∈ R), mettre e 2 en facteur : θ iθ 1 + ei θ = 2e 2 cos , 2 θ iθ 1 − ei θ = −2i e 2 sin . 2 iθ ➥ Exercice 2.15. Pour déterminer l'image dans C, par une application f, d'une partie P de C Essayer, si possible

mathématiques. En voici quelques-unes : Public Shared Function Sqrt(ByVal d As Double ) As Double racine carrée Public Shared Function Cos(ByVal d As Double ) As Double Cosinus Public Shared Function Sin(ByVal a As Double) As Double Sinus Public Shared Function Tan(ByVal a As Double) As Double Tangente Public Shared Function Pow(ByVal x As Double,ByVal y As Double) As Double x à la puissance y (x>0) Public Shared Function Exp(ByVal d As Double) As Double Exponentielle

a=7-2*%i > real(a) // partie reelle > imag(a) // partie imaginaire > abs(a) // module > phasemag(a) // argument en degres > conj(a) // complexe conjugu´e > a+conj(a)-2*real(a) Les fonctions r´eelles s’´etendent au cas complexe. Par exemple, le sinus est d´efini pour tout z 2 C par la s´erie convergente : sin z = +1X k=0 (−1)kz2k+1 (2k + 1)! . > sin(2+%i) On fera attention au logarithme complexe et aux puissances non enti`eres qui sont des fonctions multiformes et qui ne v´erifient pas

⋅ v=− ⎛ 180 ⎛ ⎞⎞ m⋅ g g ⋅k π k ⋅t ⋅ − ⋅ arctan ⎜ ⋅ v0 y ⎟ ⎟ tan ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ k m 180 ⎝ m⋅ g ⎠⎠ ⎝ π Remarque : il est possible de tracasser les élèves pour leur faire obtenir des formules plus « agréables » à partir des formules d’addition des sinus, cosinus (et tangente) vues en première. sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos( a) (Faire se) rappeler aux élèves que cos(a − b) = cos(a )cos(b) + sin( a)sin(b) leur faire déduire que tan(a − b) = tan(a ) − tan(b) . 1 + tan(a ) tan(b) Indiquer

quel que soit x ∈ R est continue, il suffit de dire que c’est l’inverse d’une fonction ne s’annulant jamais, continue par composition, somme et produit de fonctions continues “usuelles”. Les fonctions continues “usuelles” ´tant : les polynˆmes, le sinus, le cosinus, l’exponentielle, le logarithme, e o la racine n-i`me, la valeur absolue. e Pour les fonctions continues, on a le classique th´or`me des valeurs interm´diaires, TVI pour e e e les intimes (remarque : les abr´viations sont bien utiles pour

14 Graphes de sections coniques Vous pouvez représenter graphiquement tous les types de sections coniques suivants en utilisant les fonctions intégrées de la calculatrice. • Graphe parabolique • Graphe circulaire • Graphe elliptique • Graphe hyperbolique 14-1 14-2 14-3 Avant de représenter graphiquement une section conique Pour représenter graphiquement une section conique Analyse du graphe d’une section conique 193 14-1 Avant de représenter graphiquement une section conique k Entrée dans

f(t) est définie par : 1 〈 f 〉 = lim ----f ( t ) dt . ∆t → ∞ ∆t ∆t Pour une fonction fT périodique, de période T , cette valeur moyenne peut être calculée sur une période : 1 T 〈 f T 〉 = --f ( t ) dt . T t=0 T En particulier, les fonctions sinus et cosinus ont une moyenne nulle, et nous avons : 1 – cos ( 2wt + 2j ) 1 〈 sin 2 ( wt + j )〉 = 〈 ---------------------------------------------〉 = -2 2 1 + cos ( 2wt + 2j ) 1 〈 cos 2 ( wt + j )〉 = 〈 ---------------------------------------------

une ´quation cart´sienne r´duite en rep`re e e e e e orthonormal : ellipso¨ ıdes, hyperbolo¨ ıdes (` une nappe et ` a a deux nappes), parabolo¨ ıdes (elliptiques et hyperboliques), cˆnes, cylindres (elliptiques, hyperboliques et paraboliques). o G´n´ration d’un hyperbolo¨ de r´volution ` une nappe et e e ıde e a d’un parabolo¨ hyperbolique par une famille de droites. ıde Les ´tudiants doivent savoir reconnaˆ sur e ıtre l’´quation r´duite les ´l´ments de sym´trie e e ee e et les quadriques de r´volution

echo abs(–543); //affiche 543. Arc cosinus de X, qui doit être compris entre – 1 et + 1. Le résultat est en radians : echo acos(0.5); // affiche 1.0471975511966. double acosh (double X) double asin (double X) Arc cosinus hyperbolique de X. Ne fonctionne pas sous Windows. Arc sinus de X, qui doit être compris entre – 1 et + 1. Le résultat est en radians : echo asin(0.5); // affiche 0.5235987755983. double asinh (double X) double atan (double X) double atan2 (double Y, double X ) double atanh (double

pour équilibre ˙ (y = 0). Définition 4.5.2. Dans la littérature, on classe les points d’équilibre de (4.34) en deux catégories : 1. les points hyperboliques (ou non dégénérés) : ce sont les points d’équilibres (xe ) pour lesquels la Jacobienne10 correspondante (Jg (xe )) ne comporte aucune valeur propre à partie réelle nulle. 2. les points non hyperboliques : ce sont les points d’équilibres (xe ) pour lesquels la Jacobienne correspondante (Jg (xe )) possède au moins une valeur propre à partie réelle