Sinus hyperbolique

Arcsin : [−1, 1] → − , 2 2 p ∀ x ∈] − 1, 1[ : Arccos 1 Arcsin′ ( x) = √ 1 − x2 Arcsin Arccos : [−1, 1] → [0, π ] p 2 ∀ x ∈] − 1, 1[ : −1 Arccos′ ( x) = √ -1 1 1 − x2 Arctan π π Arctan : R → − ; 2 2 p ∀x ∈ R : 2 1 ′ Arctan ( x) = 1 + x2 Fonctions hyperboliques ch′ x = sh x 1 = 1 − th2 x th′ x = ch2 x 2.6 sh′ x = ch x Dérivation Dérivée en un point Soient un point a ∈ I, où I est un intervalle, et une fonction f : I → K. f ( a + h) − f ( a) On dit que f est dérivable en a si et seulement si lim h

(pharm.), anticonvulsif antisepsis n. (méd.), antisepsie f. antiseptic adj., n. (pharm.), antiseptique antiseptise (-tize) (to) v. t. (méd.), aseptiser antiserum n. (pharm.), antisérum m. antishock adj. (instr.), antichoc antisine n. (math.), arc m. sinus antispasmodic(al) adj. (pharm.), antispasmodique antistar n. (astro., phys.), étoile f. d’antimatière antisupercluster n. (astro., phys.), super-amas m. d’antimatière antisymmetric(al) adj. (math.), antisymétrique, symétrique gauche antitangent n.

la chaîne ’de’ >>> x = [1,2,3]; x += [4,5]; x [1, 2, 3, 4, 5] # x contient la liste [1,2,3], et lui ajoute la liste [4,5] 2.4 Les fonctions mathématiques du module math La plupart des fonctions mathématiques usuelles (racine carrée, sinus, logarithme, etc.) ne sont pas chargées en mémoire au démarrage de l’interpréteur Python. Elles appartiennent à un module nommé math qu’il faut donc importer. Il y a plusieurs possibilités (l’instruction choisie doit bien sûr précéder l’utilisation

nombres réels ou complexes, des expressions, des listes et des matrices. Il est impossible d’utiliser à avec des matrices. valeurA+valeurB valeurAävaleurB valeurANvaleurB valeurAàvaleurB Fonctions trigonométriques Les fonctions trigonométriques (sinus, ˜; cosinus, ™; et tangente, š) peuvent être utilisées avec des nombres réels, des expressions et des listes. TI-83 Plus Opérations mathématiques, angles et tests 63 Les paramètres du mode angle courant affectent l’interprétation. Par exemple

(pharm.), anticonvulsif antisepsis n. (méd.), antisepsie f. antiseptic adj., n. (pharm.), antiseptique antiseptise (-tize) (to) v. t. (méd.), aseptiser antiserum n. (pharm.), antisérum m. antishock adj. (instr.), antichoc antisine n. (math.), arc m. sinus antispasmodic(al) adj. (pharm.), antispasmodique antistar n. (astro., phys.), étoile f. d’antimatière antisupercluster n. (astro., phys.), super-amas m. d’antimatière antisymmetric(al) adj. (math.), antisymétrique, symétrique gauche antitangent n.

qu’on peut voir, e e mˆme localement si la g´om´trie est non euclidienne. On a vu que sur un disque e e e tournant, K ≥ 2π (cf. ´q. (7.7)). Une telle situation correspond ` une g´om´trie e a e e R sur une surface en forme de selle ou parabolo¨ hyperbolique (cf. Fig. 7.5). ıde Le d´part de la g´om´trie euclidienne, autrement dit la courbure de l’espace– e e e temps peut-ˆtre ainsi exprim´ par l’exc`s du rayon de courbure e e e rexc = rmes − rpred , (7.19) o` rmes est le rayon mesur´ exp´rimentalement

une primitive de √1−x2 2 2 sur ] − 1, 1[. Cette fonction est appelée "Arc sinus" et notée Arcsin. De même la fonction réciproque h−1 : [−1, +1] → [0, π] est une primitive de 1 − √1−x2 sur ] − 1, 1[. Cette fonction est appelée "Arc cosinus" et notée Arccos. Démonstration : Il est clair que la restriction de la fonction sinus à l’intervalle [− π , π ] est strictement croissante et que la restriction de la fonction co2 2 sinus à l’intervalle [0, π] est strictement décroissante, donc les fonctions Arcsin

w1 (C) ∪ w2 (C)) h(w1 (B), w1 (C)) ∨ h(w2 (B), w2 (C)) par le th´or`me 2.2.3 partie 3. e e s1 · h(B, C) ∨ s2 · h(B, C) par le lemme 2.2.8 s · h(B, C) o` s = max{s1 , s2 }. u Le cas N > 2 se montre par induction. D´finition 2.2.6 Un syst`me (hyperbolique) de fonctions it´r´es (IFS) consiste e e e e en un espace m´trique complet (X, d) et un ensemble fini de contractions wn : X → X e de facteurs sn pour n = 1, 2, ..., N . On note l’IFS par {X; wn , n = 1, 2, ..., N } et son facteur de contraction

la fonction f : R+∗ → R, x → Correction ln(1+ax) ln(1+bx) est croissante. [003889] 157 Exercice 3890 Inégalité Soient 0 < a < b. Montrer que : ∀ x > 0, ae−bx − be−ax > a − b. [003890] Exercice 3891 Formules d’addition pour les fonctions hyperboliques Calculer ch(a + b), sh(a + b), th(a + b) en fonction de ch a, sh a, th a, ch b, sh b, th b. [003891] Exercice 3892 Simplification de a ch x + b sh x Soient a, b ∈ R non tous deux nuls. 1. Peut-on trouver A, ϕ ∈ R tels que : ∀ x ∈ R, a ch(x) +

n’ont pas leur énergie quantifiée. L’énergie de l’électron, une fois celui-ci séparé de l’atome, peut prendre un continuum de valeurs possibles. En mécanique classique,  = 0 donne une orbite parabolique alors que   0 correspond à des orbites hyperboliques. Un des foyers de ces orbites peuvent être près du noyau donc l’électron n’est pas nécessairement infiniment éloigné du noyau dans les orbites d’énergie positive. FIGURE 3.14. Diagramme des niveaux d’énergie et des transitions radiatives dans