Sinus hyperbolique

point de fonctionnement est qualifi´ de point d’´ quilibre hyperbolique. Pour ce genre de points d’´ quilibre, e e e il y a equivalence topologique entre le mod` le non lin´ aire et son lin´ aris´ tangent. De ce fait, la stabilit´ du e e e e e ´ lin´ aris´ tangent est celle du non lin´ aire dans un voisinage du point de fonctionnement. Or, tout mod` le lin´ aire e e e e e asymptotiquement stable correspond a un point d’´ quilibre hyperbolique pour le mod`le non lin´ aire original qui ` e e e est donc

déclinaison géocentrique δ. Il varie au cours de l'année entre -23.45° et +23.45°. Sa variation peut être décrite par la relation approchée suivante: 6 ENERGETIQUE DU BATIMENT δ = 23.45° · sin((n-81) ·360/365) (1.3) où l'angle du sinus est exprimé en degrés, et n est le numéro du jour dans l'année. Temps légal et temps solaire vrai Le temps solaire vrai est défini par le passage du Soleil au sommet de sa course à midi vrai, instant auquel il occupe exactement le sud géographique

compliqu´es. Pour ce faire, e e e la trigonom´trie introduit quatre fonctions ´l´mentaires d’un angle α donn´ : le sinus, le e ee e cosinus, la tangente et la cotangente. La figure 1.2-a rappelle graphiquement la d´finition e de ces lignes au moyen du “cercle trigonom´trique” de rayon unit´. En trigonom´trie, e e e l’unit´ pr´f´r´e pour la mesure des angles est le radian. e eee Le sinus et le cosinus sont d´finis pour toute valeur r´elle de l’angle α. La tangente n’est e e d´finie que pour des angles

a découvert la double réfraction, plusieurs ouvrages laissent le rayon extraordinaire  flotter sans loi à côté du rayon ordinaire nettement désigné par la loi du sinus. On lit,  par exemple, dans l'Encyclopdie (Art. Crystal d'Islande) : « De ces deux rayons, l'un  suit la loi ordinaire ; le sinus de l'angle d'incidence de l'air dans le cristal, est au sinus  de l'angle de réfraction comme 5 est à 3. Quant à l'autre rayon, il se rompt selon une  loi   particulière.   »   L'indétermination   fait   alors   bon

la fonction f : R+∗ → R, x → Correction Exercice 3890 Inégalité Soient 0 < a < b. Montrer que : ∀ x > 0, ae−bx − be−ax > a − b. ln(1+ax) ln(1+bx) est croissante. [003889] [003890] Exercice 3891 Formules d’addition pour les fonctions hyperboliques Calculer ch(a + b), sh(a + b), th(a + b) en fonction de ch a, sh a, th a, ch b, sh b, th b. [003891] Exercice 3892 Simplification de a ch x + b sh x Soient a, b ∈ R non tous deux nuls. 1. Peut-on trouver A, ϕ ∈ R tels que : ∀ x ∈ R, a ch(x)

r´ciproques a e par f de 0 et 1 sont respectivement f −1 (0) = Z et f −1 (1) = 1 2k + , k ∈ Z .x 2 Fonctions usuelles  Exemple 1.2.4 La fonction tangente est d´finie sur R\ e (2k + 1)π sin x , k ∈ Z par tg : x → . 2 cos x La fonction sinus (resp. cosinus ) hyperbolique, not´e sh (resp. ch ), est d´finie pour e e La fonction de R2 dans R d´finie pour tout couple (x, y) par f (x, y) = |x| + |y| est dite e fonction ` deux variables. x a chaque r´el x par sh x = 1 (ex − e−x ) (resp. ch x = 1 (ex + e−x

groupe de Lorentz ³ ×Ø Ð Ö ×ØÖ ÒØ µº Ü·Ý ½·ÜÝ ¦ Ñ Ø ¿ ℄ ´¼½µ Montrer que ´Üµ ¡ ´Ýµ et ´Üµ ½ . ´ Üµ ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ð Ö Ð ØÚØ C ¸ a vous rappelle quelque chose ? Eh oui, de la relativit´ e restreinte, et des tangentes hyperboliques. § MATº¿ ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò× Ñ Ð × × ¾Ê ×Ø ÙÒ ÖÓÙÔ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ´ÓÒ Ð³ ÔÔ ÐÐ groupe de Lorentz Ø ³ ×Ø Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ö ×ØÖ ÒØ µº ÖÓÙÔ ÓÒ Ñ ÒØ Ð × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ð ¦ Ñ Ø¿ ℄ § MATº¿ Ð ÙÐ Ö ÒØ Ú ¦ Ñ Ø ¿ ℄ ´¼¾µ On note que § MATº¿ ËÓ

formule ∀z ∈ C, ∞ sin(πz) z2 = ∏ 1− 2 . πz n n=1 Philippe Charpentier 71 CHAPITRE IV. THÉORÈME DE RUNGE, ÉQUATIONS DE CAUCHY-RIEMANN ET THÉORÈME DE WEIERSTRASS 4. En utilisant convenablement la formule trigonométrique de duplication pour le sinus, montrer que l’on a aussi l’autre factorisation ∀z ∈ C, ∞ sin(πz) πz = ∏ cos n . πz 2 n=1 E XERCICE IV.15 (produits infinis, facteurs de Weierstrass). 1. Soit, pour tout n ∈ N∗ , la fonction méromorphe fn (z) := n n+1 n+z n z . Montrer que

cinétique, isoler q et le mettre sous la forme · q = f (q) . En déduire l’ordre de grandeur de la durée de visibilité de la comète depuis la Terre en utilisant les hypothèses simplificatrices de l’énoncé. 7 Incident sur un satellite 8 *Mouvement hyperbolique répulsif. Expérience de Rutherford Une particule a de masse m et de charge q = 2e , venant de l’infini avec une vitesse v➞0 , s’approche avec un paramètre d’impact b = OH d’un noyau cible (noyau d’or) de masse M >> m et de charge Ze . y eθ ∞ D

trois équations différentielles à une seule variable. C’est la méthode de séparation des variables. 1.4 Particule dans un état stationnaire 15 Équation à une variable Les trois équations (1.3.10) sont analogues et ont pour solution des sinus ou des cosinus. Les conditions aux limites (1.3.7) imposent les solutions : npx (1.3.11) Xn (x) = N sin a où n est la suite des nombres entiers relatifs et N un coefficient de normalisation qu’on détermine en écrivant : a |Xn (x)|2 dx =