Sous-espace vectoriel engendré

´nonc´s pourront notamment ˆtre utilis´s dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications, – Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications. e e – Probl`mes d’extremums. e – Continuit´ et d´rivabilit´ des fonctions r´elles

0 1 1  Indication. Noter que A et B sont des matrices diagonales par bloc. � Exercice 2. Représentation d’une application linéaire. Donner la représentation matricielle des applications linéaires sui- vantes dans les bases canoniques des espaces en jeu. 1. f : { R3 → R3 (x, y, z) 7→ (x +2y +3z,2y − z, x + z) . 2. la projection dans R2 sur la droite engendrée par e1 = (2,1) parallèlement à e2 = (1,1). 3. la symétrie dans R2 par rapport à la droite engendrée par e1 parallèlement à e2 (on rappelle

Immeuble ACCET 4, place de la Pergola 95021 Cergy-Pontoise Ce livre est publié sous la licence libre Creative Commons-BY-SA http ://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fr BY : Paternité. Vous devez citer le nom de l’auteur original. SA : Partage des Conditions Initiales à l’Identique. Si vous modifiez, transformez ou adaptez cette création, vous n’avez le droit de distribuer la création qui en résulte que sous un contrat identique à celui-ci. En outre, à chaque réutilisation ou distribution

d’information d’éléments supplémentaires (la redondance) qui suivent une loi connue. Ce phénomène nous est proche : qui n’a jamais fait répéter un interlocuteur dont les paroles avaient semblé obscures ? Si cette idée première est enfantine, sa mise en œuvre sous une forme plus évoluée est assez récente : la théorie du codage trouve sa source dans la théorie de l’information élaborée par Shannon à partir de 1948. Celle-ci assure qu’on peut trouver une probabilité d’erreur aussi petite que l’on veut, dès lors

indifférent (Ex.4), il faut toutefois le préciser clairement car, en ACP, les individus et les variables ne sont pas traités de manière équivalente. On appelle nuage (des individus), l'ensemble des lignes i considérées comme points de l'espace vectoriel Rp. On note que la coordonnée de l'individu i sur l'axe canonique j de Rp est la valeur xij prise par le caractère j pour cet individu; en ce sens les axes canoniques correspondent aux variables. Principes de l'ACP L'idée de l'ACP est de déterminer

. 2 Int´gration e 2.1 Int´gration des fonctions positives . . . . . . e 2.2 Int´gration des fonctions quelconques . . . . e 2.3 Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Int´gration par rapport a une mesure image e ` p 2.5 Espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mesures de probabilit´ e 3.1 D´finitions . . . . . . . . . e 3.2 Vecteurs al´atoires . . . . e 3.3 Moyennes et in´galit´s . . e e 3.4 Fonctions caract´ristiques e . . . . . . . .

Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . 2.2.3 Propriétés des matrices carrées . . . . . . . 2.3 Espace euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rang d’une matrice An×p . . . . . . . . . . 2.3.3 Matrice euclidienne . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Eléments propres

Mécanique 1 Mécanique 1 Preparé par Adolphe Ratiarison African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana Université Virtuelle Africaine  Note Ce document est publié sous une licence Creative Commons 2.5 de paternité (la moins restrictive). http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abbreviated “cc-by”), Version 2.5. Université Virtuelle Africaine  Table des maTières

Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques. Il leur propose

D'OPALE --LICENCE CREATIVE COMMONS : PATERNITÉ - PAS D'UTILISATION COMMERCIALE - PARTAGE DES CONDITIONS INITIALES À L'IDENTIQUE 29 août 2010 2 Table des matières D1 : Travailler dans un environnement numérique 5 D1.1 - Organiser un espace de travail complexe................................................5 1. Quelques définitions................................................................................................5 2. Les unités de mesure de l'information...............