Sous-espace vectoriel engendré

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 55 57 60 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 55 57 60 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46 6 L’anneau des polynˆ omes page 53 7 Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants page 90 11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace page 96 Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire page 105 12 Suites de nombres r´eels ou complexes page 109

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3

2.1 Présentation de la tâche de filtrage..............................................................................10 2.1.1 La tâche de filtrage en général..............................................................................10 2.1.2 Les sous-tâches de TREC.....................................................................................11 2.2 Les systèmes de filtrages ............................................................................................12 2.2.1 Formule de Rocchio

Introduction et pr´sentation. e 1 Le langage math´matique e 2 Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es et formule

lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Familles g´n´ratrices . . . . . . . . . e e e 3.2.3 Familles libres et familles li´es . . . 3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel 3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . 3 5 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 17 18 18 20 21 21 22 23 25 25 26 27 29 29 30 31 33 33 34 34 35 36 38 39 39 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Finalement R3[X] = A⊕B ⊕ C 3. H et I sont des sous espaces vectoriels de R[X]. Ils seront supplémentaires si et seulement si H ∩ I = {0R[X]} avec R[X] = H + I. Soit P ∈ R[X]. P ∈ H ∩ I ⇔ ∀X ∈ R, P (−X) = P (X) = −P (X)⇔ ∀X ∈ R, P (X) = 0 Ainsi H ∩ I = {0R[X]} donc H et I sont en somme directe. Montrons maintenant que R[X] = H + I. On a clairement H + I ⊂ R[X] puisque H et I sont des sous espaces vetoriels de R[X]. Montrons par analyse synthèse que R[X] ⊂ H + I. 2� Analyse

0l 0 0 0 l I t : ll o; ;I 0 0 ll ' r l: ll o o r l ' " l= l 0t 0 oI le t L = l 0 t o ; ; l 0 0 - 1 0 1) 0l l o o o l 1 [ o o - 1 r ) l . o ol 0 0) \-l 0 0 0) identitéde E. par vectoriel engendré (1,J, K, L) et.Id I'endomorphisme On note E le lR-espace tr: J + K. On pose 1) Montrer que (1,J, K, L) est une basede.E et donnerla dimensionde E. de 2) a) Exprimer J K, KL et LJ en fonction respectivement L, J et K. -L, LK : -J etJL : -K' b) CaiculerJt, K2 et Z2 puis en

Démontrer que, ∀ x ∈ ]0, +∞[, la fonction t → f (x, t) est intégrable sur ]0; +∞[. +∞ e−t tx−1 dt. On pose alors, ∀ x ∈]0; +∞[, Γ(x) = 0 2. Démontrer que, ∀ x ∈]0; +∞[, Γ(x + 1) = xΓ(x). 3. Démontrer que Γ est de classe C 1 sur ]0; +∞[ et exprimer Γ (x) sous forme d’intégrale. Corrigé exercice 29 1. Soit x ∈ ]0, +∞[. La fonction t → e−t tx−1 est définie, positive et continue par morceaux sur ]0, +∞[. 1 f (x, t) ∼ + tx−1 et t −→ tx−1 = 1−x est intégrable sur ]0, 1] (fonction de Riemann avec 1 − x < 1)