Suite définie par récurrence

géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme général. - Écrire le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique définie par son premier terme et sa raison. Calculer avec la calculatrice ou le tableur la somme de n termes consécutifs (ou des n premiers termes) d’une suite arithmétique ou géométrique. Pour les suites géométriques, on se limite aux suites à termes strictement positifs. Pour certaines résolutions, le tableur

z − 1 = 0, il suffit de démontrer que (z − 1) k=0 n n zk = (z − 1) k=0 n z k+1 − k=0 z k = z n+1 − z 0 = z n+1 − 1. k=0 NB : Ce n’est pas nécessaire d’utiliser une récurrence. 2. Soit u = ei2π/7 et S = u + u2 + u4 . (a) Justifier (en au plus 3 lignes) que: 1 + u + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 0. Solution. On note tout de suite que u est une racine 7ième de l’unité: u7 = ei2π = 1. 7 −1 = 0. D’après la question 1, 1 + u + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = uu−1 6 2 5 4 3 ¯ (b) Vérifier que u ¯=u ,u ¯ = u et

d’une relation de récurrence a) D’après l’énoncé, donner les valeurs de p(E1 ), pE1 (E2 ) et pE1 (E2 ). En déduire la valeur de p(E2 ). b) A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1 ) en fonction de p(En ). 2) Etude d’une suite On considère la suite (un ) définie par :   u =2  1 5   un+1 = 1 un + 2 pour tout n 5 5 . 1 1 a) Démontrer que la suite (un ) est majorée par . 2 b) Démontrer que la suite (un ) est croissante. c) Justifier que la suite (un ) est convergente

b b (g (t ) − f (t )) dt = a a g (t ) dt − a f (t ) dt 0 et cette dernière proposition est équivalente à : b b b b g (t ) dt a a f (t ) dt ⇐⇒ a f (t ) dt a g (t ) dt comme voulu. PARTIE B 1. f 1 est la fonction définie sur R+ par : ∀x ∈ R+ , f 1 (x) = ln(1 + x). a. Déterminons la limite de la fonction f 1 en plus l’infini : lim 1 + x = +∞ ∧ lim ln = +∞ +∞ composition x−→+∞ =⇒ lim f 1 = +∞. +∞ b. La fonction x −→ 1 + x est dérivable sur R+ et est en

a > 0 : ex = a ⇔ x = ln a ; ln b ⇔ a ln a ; a eb ⇔ a ; b b ln x > a ⇔ x > ea ex < a ⇔ x < ln a ; ex > a ⇔ x > ln a Remarque : Pour les équations et inéquations avec logarithme, ne pas oublier de commencer par définir les conditions d’existence (les expressions contenues dans un logarithme doivent être strictement positives). Exemples d’équations et d’inéquations : • ln x + ln 2 = 5. Condition d’existence : x > 0. Avec cette condition : ln x + ln 2 = 5 ⇔ ln

I) Définition : 1) Exemples : Exemple 1 : On définit la suite ( Cette suite est définie sur est une application de par: ∖ 0 , c'est-à-dire pour tout entier naturel 1 ∖ 0 vers : ∖ 0 → ↦ 1 Son premier terme est =1 Exemple 2 : On définit la suite ( etc …. par: pour les entiers naturels strictement supérieur à 3 Cette suite est définie pour tout ∈ 3 vers 3, est une application de

d’une relation de récurrence a) D’après l’énoncé, donner les valeurs de p(E1 ), pE1 (E2 ) et pE1 (E2 ). En déduire la valeur de p(E2 ). b) A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1 ) en fonction de p(En ). 2) Etude d’une suite On considère la suite (un ) définie par :   u =2  1 5   un+1 = 1 un + 2 pour tout n 5 5 . 1 1 a) Démontrer que la suite (un ) est majorée par . 2 b) Démontrer que la suite (un ) est croissante. c) Justifier que la suite (un ) est convergente

Méthodes et exercices Etudier la monotonie d’une suite numérique Méthode 1 : Comparer u n +1 − u n à 0. Exercice 1 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = n − 2 n pour tout n. Méthode 2 : Lorsque u n +1 = f (n ) pour tout n, f étant une fonction monotone dans un intervalle du type [n 0 , + ∞ [, (u n ) a le même sens de variation que f . Exercice 2 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = 2 n − 5 pour tout n ≥ 5. Méthode 3 : Lorsque la suite est strictement positive, comparer Exercice

Méthodes Ch 2 : Démonstration par récurrence – Suites numériques Devant un exercice lié à une suite (un) . Se demander quel est le premier terme, comment il se note . Calculer d’abord quelques termes ( écrire éventuellement des approximations décimales ) Quelle est la question posée ? A – Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique B – Calculer un en fonction de n C – Etudier les variations de (un) D – Calculer la somme de termes consécutifs E – Etudier le comportement de

Exo7 Suites 1 Convergence Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication Correction Vidéo [000506] Exercice 2 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang. Indication Correction Vidéo [000519] Exercice 3 Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = (−1)n + n’est pas convergente. Indication Correction Vidéo [000507] 1 n Exercice 4 Soit (un )n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un