Suite définie par récurrence

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) → − On considère une droite D munie d’un repère O, i . Soit (An ) la suite de points de la droite D ainsi définie : • A0 est le point O ; • A1 est le point d’abscisse 1 ; • pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment [An An+1 ]. 1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 et A6 . On prendra 10 cm comme unité graphique. b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point

. . . . . . . . . 10 Équation du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II I II Le raisonnement par récurrence Principe du raisonnement par récurrence Des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 17

Exercice 2 Soit A = { (−1)n + 1 2n, n ∈ N∗ } . 1 Montrer que A est borné possède une borne inférieure i et une borne supérieure s. (0,5 + 0,5 pt) 2 Déterminer i et s. (0,75 + 0,75 pt) Correction Posons un = (−1)n + 1 2n . Pour tout n ≥ 1, un est bien définie, donc A est non vide. 1 On remarque que tout n ≥ 1, un = (−1)n + 1 2n > (−1)n ≥ −1. L’ensemble A est donc minoré par −1. Et comme c’est un sous-ensemble de R non vide, elle admet une borne inférieure i. Si n = 1, un = −1 2 < 0. Si n ≥ 2, alors

considère la fonction f définie sur R par f (x) = ( x2 −2x −1 ) ex . A. La fonction dérivée de f est la fonction définie par f ′(x) = (2x −2)ex . B. La fonction f est décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; 2]. C. lim x→−∞ f (x) = 0. La bonne réponse est la réponse C. En effet, pour tout x de R, f (x) = x2ex −2xex −ex . Or, lim x→−∞ ex = 0 et, par croissance comparée, lim x→−∞ x2ex = 0 ainsi que lim x→−∞ xex = 0. On en déduit que lim x→−∞ f (x) = 0. 2. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3

3) 2n On a : lim (2  n)   (suite de référence) n 1 0 n 2  n Or : lim (3n  5)   Donc : lim n Donc : lim un   n (addition) b) un  (3n  2)(1  n) ( n  1) n2 (3n  2)(1  n) 3 n2  5 n  2 5 2   3   2 2 2 n n n n 2 5 lim 2  0 (suites de références) Or : lim  0 et n n n n Donc : lim un  3 (addition) Soit n  1 , on a : un  n c)  2 n On a : lim  2    n 1 2 n un  1 (suite géométrique de raison  

5 Suites et récurrence Ce chapitre vient prolonger les connaissances acquises en classe de Première sur les suites. Le programme de Terminale comporte des rappels et des compléments sur les suites arithmétiques, les suites géométriques, le comportement global d’une suite, le comportement asymptotique d’une suite, le théorème de convergence des suites croissantes majorées et les propriétés des suites ( u n ) de la forme u n+1 = f ( u n ) qui convergent vers un réel L lorsque la fonction f est

exercices sur la récurrence. TS Corrigé des exercices sur la récurrence. Exercice n°1. 3 3 3 Démontrer : pour tout n1, 1 2 ...n = n 2  n12 2 =1 2 ...n 4 Démonstration. La deuxième égalité est une conséquence directe de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique. Allez voir ce cours. Pour la première, on appelle Initialisation 2 1 ×2 2 3 donc 1 = 4 P n la proposition : 13 23 ...n3 = n 2  n12 4 P 1 est vraie. Hérédité. On suppose P n vraie. n2 n12

numériques On appellera suite réelle tout élément de RN . 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente.

de spécialité) On considère la suite numérique (un )) définie sur N par : 3 1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = − u2n + 3un − . 2 2 Partie A : Conjecture 1) Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de u1 et u2 . 2) Donner une valeur approchée à 10−5 près des termes u3 et u4 . 3) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un ). Partie B : Validation des conjectures On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier naturel n, par

dérivée de la fonction ln est la fonction définie 1 sur ]0 ; +∞[ qui à x associe . x PARTIE B - Étude de fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par ln x . x f (x) = x + Le but du problème est l’étude de cette fonction et le calcul d’une aire. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; i, j) d’unité graphique 3 cm. I - Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x2 + 1 − ln x. 1