Suite définie par récurrence

1 C H A P I T R E Suites numériques Introduction 1. Programme Contenus Suites Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d’une suite. Limites et comparaison. Opérations sur les limites. Comportement à l’infini de la suite ^qnh , q étant un nombre réel. ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S Suite majorée, minorée, bornée. Capacités attendues Commentaires • Savoir mener un raisonnement par récur- Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année

SUITES I) Notion - Définitions : a) notion de suite numérique : En France, le premier service météorologique est créé en 1855. A partir de cette date, les températures sont relevées chaque jour. La liste de tous les nombres obtenus grâce à ces mesures permet d'observer l'évolution du climat. Pour cela, cette liste doit être ordonnée afin de pouvoir se repérer et dater les constatations. Supposons que les premiers termes de cette liste soient : –4,5°; 6°; 15°; –9,4° etc. Vous savez alors que le deuxième

|2003 | | |Fonctions | | 1.   Soit f la fonction définie sur ]0 ;+[/ {1} par f(x) = - ))) et C sa courbe représentative a) Montrer que f(x) = - et calculer la limite de f en + et en o. b) Montrer que la droite D d’équation y= est asymptote à C. c) Calculer la dérivée de f et dresser

Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation y=f(x). 3) Suites définies par récurrence Ce sont les suites définies par

Dans chacun des cas, étudier la limite de la suite proposée : an = 5n3 + 2n - 4 n3 + n 2 + 1 2sin n + 3 n +1 5n - 2n 5n + 2n bn = cn = Exercice 2 (2 points) Démontrer par récurrence que, pour tout n Î *, on a : å æ n ö k = ç k÷ ç ÷ è k =1 ø k =1 n 3 å 2 Rappel : åk = k =1 n n ( n + 1) 2 Ou, si vous préférez : 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 Exercice 3 (4 points) On considère la suite (un) définie par : ìu0 = 3 ï 2 í ïun +1 = 1 + u pour n Î ¥

SURVEILLE N°3 1S Exercice 1 ( 2 points) Soit (un) une suite géométrique de raison q. On sait que u3 12 et u6 324 1. Déterminer q 2. En déduire u0 Exercice 2 ( 5 points) On considère la suite (un) définie par u0 On pose, pour tout n , vn 1 et, pour tout n , un 1 1 3 un 4 un 6 1. Calculer u0, u1 et u2. Montrer que la suite ( un ) n'est ni arithmétique, ni géométrique. 2. a) Démontrer que la suite ( vn ) est géométrique de raison 1 . 3 b) En déduire l'expression

(u n ) sont définies par u n = f (n) . Donner la fonction numérique f correspondante, indiquer le terme initial de la suite, puis calculer les termes u 3 et u 8 1) u n = n+2 n2 −1 2) u n = n 2 − 3n 3) un = cos   nπ    2  Exercice n°2. Pour chacune des suites de terme général u n , indiquer à partir de quel rang elles sont définies, puis calculer les trois premiers termes 1) u n = (− 1) n n 2) u n = 3n 2n −1 Exercice n°3. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier

wn1  wn  2 . La suite ( ) est donc arithmétique de raison 2 et de premier terme . d) Cet algorithme détermine le rang du premier terme de la suite ( ) inférieur ou égal à 0,000001. Il renvoie . e) L’algorithme ci-contre détermine le plus petit entier n1 tel que wn  10000 DEVOIR MAISON N°1 (correction) 1.  On considère la suite de nombres  un  définie par : u0  1 , u1  1 1 et pour tout entier naturel n , un  2  un 1  un 2 4 ( 1) ) . La suite  un  n’est donc

Raisonnement par récurrence P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est

suites réelles définies deux = 1 et pour tout n E Exercice 2 On considère la suite numérique u définie par ua = 1 et pour tout entier naturel n : 1 u,,+]=3u" +n-1 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par: = 12 et N* : U,,+[= 1.) Pour tout un+2v" 3 N*, on pose: w" = v" -U". nE a.) Montrer que (w,,) est une suite géométrique dont on précisera le premier tenne et la raison. b.) Exprimer Wn en fonction de n. c.) Démontrer que la suite détenniner sa limite