Suite Fraternelle

Int¶egration, Hermann, collection M¶ethodes, 1997. [6] Rudin, W. Real and complex analysis, McGraw-Hill, New-York, 1987. 2 Chapitre 1 Pr¶eliminaires et Rappels Dans tout ce chapitre X d¶esigne un ensemble quelconque. 1.1 La droite achev¶ee R Une suite r¶eelle n'a pas toujours de valeur d'adh¶erence. Ceci est du au fait que R; j:j n'est pas compact. En ajoutant deux ¶el¶ements µa R on peut en faire un espace compact. D¶e¯nition 1.1.1 On appelle droite achev¶ee l'espace topologique not¶e R obtenu

2, où p est un entier (d'après l'hypothèse de récurrence). = 6p Donc 2k+1 est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et pourtant la propriété n'est jamais vraie. Méthode : Mener un raisonnement par récurrence On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par et . Démontrer par récurrence que : . Initialisation : et . La propriété est donc vraie pour n = 0. Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit

n n + 1 n(n + 1) c) Faux : La suite du b) est strictement croissante et ses termes sont tous inférieurs à 1. d) Vrai : pour tout entier naturel n, f(n+1) > f(n).  QCM  QCM 5 7 1. c) u 1 = 3, u 2 = , u 3 = . 2 3 1 1 • u 2 – u 1 = – ≠ u 3 – u 2 = – , donc la suite (u n ) 2 6 n’est pas arithmétique. u2 5 u3 14 • = ≠ = , donc la suite (u n ) n’est pas u1 6 u2 15 géométrique. 5 2. b) Pour tout entier naturel n, u n+1 = u n donc 3 la suite (u n ) est géométrique. 1.

naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique. Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, … Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre. I. Définition et représentation graphique 1) Définition d'une suite numérique Exemple d'introduction :

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10

Exercice (4 points) Étudier la monotonie des suites suivantes (en calculant un+1 – un ou 2 a) un = n − n Exercice un+1 ) avec n > 0. un −7 × 32 n b) un = 18n (2 points) La suite suivante est arithmétique. Calculer la raison, le premier terme u0 puis calculer u30 : u5 = 3 et u15 = – 27 Exercice (3 points) La suite (u n ) n∈IN suivante est géométriques . Calculer la raison , le premier terme u1 et u20 : u10 = 8 et u7 = −1 Exercice (4 points) Calculer les sommes suivantes ( en réfléchissant

Exercice 3 : On considère la suite (un ) définie par : un+1 = −0, 5un + 5 u0 = 50 On considère également la suite (vn ) définie par : vn = un − 10 3 1. Remarquons d’abord que pour tout entier n ∈ N, vn = un − 10 10 ⇐⇒ un = vn + 3 3 Ensuite, soit n ∈ N : vn+1 = un+1 − 10 3 10 3 15 10 10 + − = −0, 5 vn + 3 3 3 1 10 5 = −0, 5vn − × + 2 3 3 5 5 = −0, 5vn − + 3 3 = −0, 5vn = −0, 5un + 5 − (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = −0, 5 et de premier terme : v0 = u0 − 150 10 140 10 =

de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. 3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante : – Si le joueur réalise les événements R3 ou R2 il ne gagne plus d'argent immédiatement mais est qualifié pour la suite du jeu que l'on appelle "Banco". – Si l'événement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n'est pas qualifié pour le "Banco". Le "Banco" consiste à extraire une boule parmi les sept restées dans l'urne ; si celle-ci est verte le joueur empoche les

SUITES NUMÉRIQUES I. Déterminer le terme de rang n d’une suite arithmétique : • Exemple : Calculer le 13e terme d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 1,75 et de raison r = 3,5. • Méthode : On utilise la relation un = u1 + ( n − 1) r • Solution : u13 = 1,75 + (13 − 1) × 3,5 u13 = 1,75 + 12 × 3,5 = 1,75 + 42 ⇒ u13 = 43,75 II. Déterminer la raison r d’une suite arithmétique : • Exemple : Calculer la raison r d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 3,4 sachant que u16 = 34,9. • Solution

une augmentation de 2%. B1b. vn est une suite géométrique de raison 1.02 puisque pour passer d’un terme au suivant on multiplie chaque fois par 1.02. B2. Une formule entrée en B3 peut être « = C2*E$2 » ou « = C2*$E$2 ». C1. Formule possible pour B8 : « = SOMME(B2:B7) » et pour C8 : « =SOMME(C2:C7) ». C2. > Pour B8 : la somme des 6 termes de la suite arithmétique donne B8 = 6 × 15000 + 24000 = 117 000 2 1 − 1.026 > Pour C8 : la somme des 6 termes de la suite géométrique donne C8 = 18000 × ≈ 113546