Suite géométrique

0) 2ème étape : on suppose la propriété vraie au rang n 3ème étape : on en déduit que la propriété est vraie au rang n+1 Conclusion : la propriété est vraie pour tout n  IN (respectivement pour tout n ≥ n0). Exemples : Exemple 1 : Soit (un) la suite définie par : un = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). u1 = 1 ; u2 = 1 + 3 = 4 ; u3 = 1 + 3 + 5 = 9 ; u4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Conjecture un = n2. Exemple 2 : 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x pour tout x ≠ 0. 1 2 3x2 f '(x) = - 2 ; f ''(x) = 3 ; f

entier n tel que : n! 107 2. Étude d'une suite. On considère la suite (un) définie par : un = a. Calculer u0, u1, u2 et u3. b. Démontrer que la suite (un) est strictement croissante. c. Le but de cette question est de prouver que (un) est majorée. (i) Démontrer que : n 1 k! k =0 n un 1+ 1 2 k −1 k =1 1 2 n n (ii) Démontrer que : k =1 1 2 k −1 = 2 1− (iii) En déduire que (un) est majorée par 3. d. En déduire que la suite (un) converge. (On ne demande pas de calculer

I - Définition suite numérique Qu’es-ce qu’une suite numérique ? Commençons par cela. Définition : Soient a ∈ N et Ia = {n ∈ N, n a}, Ia est en fait l’ensemble des entiers naturels à partir de a. On appelle suite numérique la fonction u de Ia dans R telle que : Ia n Notation : On notera u(0) u0 , u(1) u1 , etc. un s’appelle terme de la suite numérique. → R → u(n) II - Modes de définitions d’une suite numérique 1 - Mode explicite Il y a plusieurs façons de définir une suite numérique. C’est

la suite numérique définie par : ½ u0 Æ 1 unÅ1 Æ ¡12 un Å3 . 1. Calculer u1, u2 et u3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. [0,75pt] 2. (a) Déterminer la fonction h telle que, pour tout entier naturel n, unÅ1 Æ h(un). [0,5pt] (b) Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les cinq permiers termes de (un) sur l’axe des abscisses. [1pt] 3. (a) Prouver que la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n par vn Æ un ¡2 est une suite géométrique

globale d'une suite ADéfinition et représentation graphique Une suite numérique est une fonction de \displaystyle{\mathbb{N}} dans \displaystyle{\mathbb{R}}. Pour désigner la suite \displaystyle{u}, on peut écrire \displaystyle{(u_{n})}. L'écriture \displaystyle{u_{n}} désigne en revanche le terme de rang \displaystyle{n} de la suite \displaystyle{u}, c'est-à-dire \displaystyle{u(n)}. La fonction définie pour tout entier naturel \displaystyle{n} par \displaystyle{u(n) = 2n+1} est une suite. Il existe

Raisonnement par récurrence. • Savoir mener un raisonnement par récurrence. Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année et pas seulement dans le cadre de l’étude des suites. Limite finie ou infinie d’une suite.  Dans le cas d’une limite infinie, étant donnés une suite croissante (un) et un nombre réel A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A. Pour exprimer que un tend vers l quand n tend vers + , on dit que : « tout intervalle ouvert contenant

1ère STL MATHÉMATIQUES Exercice 1 : (2 points) La suite (Un) est arithmétique telle que [pic] = 15 et [pic] = 60. Calculez [pic] et r. Exercice 2: (3 points) Soit (U.) une suite arithmétique de premier terme [pic] et de raison r avec [pic] =2 et r = 5. a) Calculer [pic] + [pic]+... +[pic]. b) Calculer [pic] +[pic]+ - +[pic]. Exercice 3 : (3 points) Soit (Un) une suite géométrique de premier terme [pic] et de raison q avec [pic]=8 et q =2. a) Calculer [pic] + [pic]+.....+[pic]

Introduction. Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N[n0 , +[ . A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +. Rappelons en particulier deux résultats essentiels. _ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée

Exercice 2 On considère la suite numérique u définie par ua = 1 et pour tout entier naturel n : 1 u,,+]=3u" +n-1 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par: = 12 et N* : U,,+[= 1.) Pour tout un+2v" 3 N*, on pose: w" = v" -U". nE a.) Montrer que (w,,) est une suite géométrique dont on précisera le premier tenne et la raison. b.) Exprimer Wn en fonction de n. c.) Démontrer que la suite détenniner sa limite. 2.) Démontrer que la suite 6 n + 15 1.) Montrer que

la somme des premiers termes d'une suite • • • • arithmétique de 1er terme u0=3 et de raison 4. € La suite a pour terme général : un = 3 + 4n, n ∈ IN déterminons n tel que 3 + 4n = 1035. On obtient n = 258 Donc, la somme S contient 259 termes Conclusion : S = (3 + 1035)×259/2 = 134 421 (2 points)     2) Soit  v  une  suite  arithmétique  telle  que   v 4 = 3  et   v10 =12 .  Calculer   v18 .   • • • Soit r la raison de la suite v. On a : v10 = v4 + 6 r d'où,€12