Suite géométrique

: SUITES GEOMETRIQUES I - Suites géométriques 1. Définitions suite géo : passe d’un terme au suivant en multipliant par un mm nbre : raison suite est géo de raison « q » ss elle vérifie : relat° de récurrence : = pour tt n ∊ N : Un+1 = q x Un suite est géo de 1er terme Uo et raison q ss son terme général : Un = Uo x qN 2. Sens de variation Soit U suite géo de raison q > o tel que Un = qN • o < q < 1 : suite décroissante • q = 1 : suite constante • q > 1 : suite croissante

3 4 4 4 4 Définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombre de termes consécutifs issus d’une même suite . . . . . . . . . . . . . Différentes façons de voir une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Suite définie à partir d’une fonction Suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Algorithmes pour calcul et représentation des termes d’une suite . . . . . . . . 1 2 3 4 Approche

complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 6 6 7 7 9 9 9 11 11 12 12 16 7.2 7.3 7.4 7.5 1 2 notes de cours deuxième année - 2008-2009- séries entières Présentation Archimède (-287,-242) somme déjà une série géométrique infinie pour résoudre le problème de la quadrature de la parabole. De même les séries entières sont manipulées bien avant que ne soit posé le problème de la convergence des séries, telles des polynômes continués. Au XV II e siècle, on manipule les

Suites géométriques I/ Définition : On dit qu’une suite Un est géométrique, s’il ∃ un réel q tel que ∀ n∈N, on a Un+1=qUn. Le réel q est appelé raison de cette suite. Exemple : La suite Un définie par : Un=-4×5nest-elle géométrique ? Si oui, déterminer le premier terme et la raison. Réponse : On calcule alors : Un+1Un=-4×5n+1-4×5n=5 ⇨Un est géométrique de raison q=5 et de premier terme U0=-4×50=-4 . Remarque : Si a,b,c,d,… sont des termes consécutifs d’une suite géométrique, on dit que

document Exercice 1 : Soit (Un ) la suite définie par Un = n2 − n + 1. a) Calculer U0 et U10 . b) Exprimer, en fonction de n, Un + 1 et Un+1 . Exercice 2 : 1 . n+1 a) Exprimer Un+1 −Un en fonction de n. b) En déduire le sens de variation de la suite (Un ). Soit (Un ) la suite définie par Un = Exercice 3 : 1 Soit (Un ) la suite arithmétique de premier terme U0 = 4 et de raison r = . 2 a) Exprimer Un en fonction de n. b) Calculer U10 . Exercice 4 : Soit (Un ) la suite arithmétique telle que U4 = 5 et

faisant intervenir des suites géométriques ou des suites arithmético-géométriques. ̈ Modéliser ces situations par des suites géométriques ou arithmético-géométriques. ̈ Utiliser de telles suites pour prévoir des évolutions (intérêts composés, population, etc.). ̈ Se méfier de la limite intuitive de certaines suites (voir les deux paradoxes). Sommaire 1. Pré-requis 2. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique 3. Limite d’une suite géométrique de raison strictement positive

d'affixes respectives z , 1 et 2. On suppose que M est distinct des points A et B. a. Interpréter géométriquement le module et un argument de b. Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2). 4. a. Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution dans C de l'équation I n 3 z 2 , où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle . 2 z 1 2 z 2 b. Résoudre alors dans C l'équation (3) :  I . z 1 On cherchera les solutions sous forme algébrique.

restent présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s’intéresse au nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite (u n ) admettant pour premier terme u 0 = 115, le terme u n donnant une estimation du nombre d’oiseaux l’année 2013 + n. 1. Calculer u 1 et u 2 . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 2. Les spécialistes déterminent le nombre

On considère la suite numérique u définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : 1 un+1 = un + n − 1. 3 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = 4un − 6n + 15. 1. Montrer que v est une suite géométrique. 2. Calculer v0 puis vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 19 1 6n - 15 × n+ . 4 3 4 3. Déterminer la limite de la suite u. 4. Montrer que u peut s’écrire sous la forme u = t + w où t est une suite géométrique et w une suite arithmétique. 5

Généralités I) Définition : 1) Exemples : Exemple 1 : On définit la suite ( Cette suite est définie sur est une application de par: ∖ 0 , c'est-à-dire pour tout entier naturel 1 ∖ 0 vers : ∖ 0 → ↦ 1 Son premier terme est =1 Exemple 2 : On définit la suite ( etc …. par: pour les entiers naturels strictement supérieur à 3 Cette suite est définie pour tout ∈ 3 vers 3, est une application