Surjection

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran. 1ère année 07 Février 2012 Durée : 2 heures (+30mn) Épreuve d'Algèbre du 1er semestre Exercice 1. 1. Soit E un ensemble. Montrer que pour A et B de P (E) : (a) A ∪ B = A ⇐⇒ B ⊂ A . (b) A ∩ B = A ∪ B ⇐⇒ B ⊂ A = B . 2. Soit la relation ∼ dans P (E) dénie par : A ∼ B ⇐⇒ ∃X ⊂ E / X ∩ A = X ∩ B (a) Montrer que ∼ est une relation d'équivalence. (b) Donner les classes d'équivalence de ∅ et de E . Exercice 2. 1. Soit la

Math 1 Notations | Tel que ⊂ Inclus dans → De … vers : Tel que , Et 2 Nombres, relations et applications 2.1 Nombres IN : Naturels IN0 Z : Entier Z0 Z+=IN  : rationnels IR : réel 2.2 Relation d’ordre : la relation dans IR Rappel : Une relation § (« Brol », n’importe quoi) dans IR est une partie de IRxIR La relation § est un préordre sur IR ssi elle est Réflexive : Transitive : si La relation § est un ordre sur IR ssi elle est Réflexive Transitive Antisymétrique :

D EVOIR LIBRE DE M ATHÉMATIQUES-MPSI Corrigé du devoir libre n◦ 5 M.Tarqi ••••••••••• Exercice 1 Exercice 2 1. Prouvons d’abord que cette loi est correctement définie, c’est-à-dire que si x et y appartiennent à S, alors 1 + xy n’est pas nul. Dans le cas contraire, nous aurions xy = −1, d’où |x|.|y| = 1 donc un au moins des nombres |x| et |y| serait ≥ 1, ce qui est impossible, puisque x et y appartiennent tous deux à S et que S est l’ensemble des nombres réels dont la valeur absolue

(−1) n Cn 2 (−1) n − 2 Cn En conséquence : p ¡ k =0 p Exemple : démontrer : k =0 (−1) p − k C k 2 k = 1 p Application 1 : nombre de surjections d'un ensemble de cardinal n sur un ensemble de cardinal p.     Soit X un ensemble de cardinal n ∈ * et Y un ensemble de cardinal p ∈ On note S(n, p) le nombre de surjections de X sur Y. Recherchons une expression de S(n, p). Pour cela, dénombrons de deux façons différentes le nombre d'applications ƒ de X dans Y. Soit ƒ une

et A une partie de E de cardinal p. 1. Quel est le nombre de parties de E à k éléments qui contiennent un et un seul élément de A ? 2. Quel est le nombre de parties de E à k éléments qui contiennent au moins un élément de A ? Solution surjections. _______________________________________________________ Il y a anagrammes. choix possibles pour choisir les 2 antécédents , puis (n-1) ! choix possibles pour les autres images soit k= 0 6 5 2 n1 2 Choisissons l’élément

4. En d´duire la valeur de Kn . e 5. Application : au loto on tire 6 num´ros dans {1, . . . , 49}. Combien de tirages ne contiennent e aucune paire d’entiers cons´cutifs ? e Exercice 15 - Nombre de surjections - L1/Math Sup On se propose de calculer le nombre S(n, p) de surjections de {1, . . . , n} sur {1, . . . , p}, o` u (n, p) ∈ (N∗ )2 . 1. Des cas particuliers : (a) Calculer S(n, p) pour p > n. (b) Calculer S(n, n). (c) Calculer S(n, 1). (d) Calculer S(n, 2). 2. Calculer S(n

Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEE Annexe V: Utilisation d'un corps fini dans le codage du Minitel Annexe VI : Utilisation d'un corps fini dans les disques compacts Annexe

4 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Image directe d’une partie par une application . . 1.4.6 Image réciproque d’une partie par une application 1.4.7 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . 1.5.1 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fondamentaux communautaires ne peut être qu'originale : son fondement n'obéit pas aux logiques « statocentrées ». Si la Cour de justice a pu identifier l'existence d'une Communauté de droit, les éléments de celle-ci demeurent singuliers de par la surjection induite des relations de communautarité entre normes communautaires et nationales d'application. De surcroît, n'étant pas un caractère systématique de l'État de droit, les droits fondamentaux n'ont pas été conçus comme un attribut de cette Communauté

a/b s’il existe c ∈ A tel que a = bc Théorème 7 : ¯ y ¯˙ y ¯ y Si pour tout x , ¯ ∈ Z/nZ on pose x + ¯ = x + y et x · ¯ = x y, alors ˙ (Z/nZ, +, ·) est un anneau commutatif. Définition 4 : L’application s : Z → Z/nZ k→¯ k est une surjection appelée la surjection Propriété 3 : a/b ⇐⇒ 〈b〉 ⊂ 〈a〉 Preuve =⇒) Soit x ∈ 〈b〉, donc ∃p ∈ A tel que : x = p b, b = ca donc x = pca ∈ 〈a〉 ⇐=) b ∈ 〈b〉 ⊂ 〈a〉, donc ∃c ∈ A, b = ca et par suite a/b canonique de Z sur Z/nZ. Théorème 8 : Soit ¯ ∈ Z/nZ, les