Surjection

2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Images et antécédents . . . . . . . . . 2.2.3 Restriction, prolongement, composition 2.2.4 Injections, surjections et bijections . . 2.3 . . . . . 2.3.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ensemble infinis et dénombrabilité . . Ensembles Applications Cardinal d’un ensemble 3 Relations 3.1 3.2 3.3 3.4 5 . . . . . . .

. . . . 2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Images et antécédents . . . . . . . . . 2.2.3 Restriction, prolongement, composition 2.2.4 Injections, surjections et bijections . . 2.3 . . . . . 2.3.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ensemble infinis et dénombrabilité . . Applications Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

morphisme φ : A → B. ˆ Un remplacement de A est une adgc A munie d’un quasi-isomorphisme ˆ φ : A −→ A. ∼ = 28 CHAPITRE 3. HOMOTOPIE RATIONNELLE Rappelons que tout morphisme d’adgc A → B peut être factorisé par un remplacement de A suivi d’une surjection [11, §12 (b) page 149] ˆ A −→ A φ ψ B. Définition 3.12 Si A −→ B et C −→ B sont deux morphismes d’adgc, nous notons A ×B C = {(a, c) ∈ A × C | φ(a) = ψ(b)} le produit fibré de A et C au dessus de B. ˆ ˆ Si A B est un remplacement surjectif

matières par matières qui confinerait chacune de ces collectivités ne rend absolument pas compte de la réalité. Elles collaborent entre elles par des contrats. Il s'en suit que l'action locale devient de plus en plus complexe car à côté des rapports de surjection se sont créer des situations dans lesquelles elles possèdent en qualité de collectivité publique autonomes, un pouvoir d'exiger ou d'influencer et des situations de collaboration. Ce qui compte désormais, c'est l'adaptation à un monde administratif

matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 20 21 21 22 22 22 2. Fonctions et applications 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . Injection, surjection, bijection . . . . . Image, image réciproque d’une partie Composition des applications . . . . . Ensemble des applications de E vers F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 12. Déterminants 8 8 9 9 9 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12

applications 12 D´monstration. D´j` h ◦ (g ◦ f ) et (h ◦ g) ◦ f sont des applications de E dans H. De plus, pour tout x ∈ E, h ◦ (g ◦ f )(x) = e ea h(g ◦ f (x)) = h(g(f (x))) et (h ◦ g) ◦ f (x) = h ◦ g(f (x)) = h(g(f (x))). Injections, Surjections, Bijections. 3.10. ´ Etant donn´ une application, tout ´l´ment de l’ensemble de d´part a une image et une seule ; mais, en ce qui e ee e concerne les ant´c´dents d’un ´l´ment de l’ensemble d’arriv´e tout est possible : il peut ne pas avoir d’ant´c´dent

. . 1.2. Sous-ensembles . . . . . . . 1.3. Loi de composition interne . 1.4. Ensembles finis . . . . . . . 2. Fonctions et applications 2.1. Applications . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Image, image réciproque d’une partie 2.3. Injection, surjection, bijection . . . . . 2.4. Composition des applications . . . . . 2.5. Ensemble des applications de E vers F . . . . . 3. Structure de Groupe 3.1. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . .

e est injective. En effet si x1 = x2 sont ´l´ments de X, comme ee ∅ = f (∅) = f ({x1 } ∩ {x2 }) = f ({x1 }) ∩ f ({x2 }) = {f (x1 )} ∩ {f (x2 )} on obtient f (x1 ) = f (x2 ). 3 Exercice 1.2. Soit X un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection de X sur l’ensemble de ses parties P(X). On pourra raisonner par l’absurde et consid´rer pour f : X → P(X) e l’ensemble A = {x ∈ X, x ∈ f (x)}. / Corrig´. Suivons l’indication. Si f ´tait surjective, nous pourrions trouver a ∈ X tel que e e A =

l'ensemble des voyageurs qui restent sur la plate-forme et de C'' l'ensemble de ceux qui vont s'asseoir. Démontrer que l'ensemble C'' est vide. Z étant l'ensemble des zazous et {z} l'intersection de Z et de C', réduite à un seul élément. À la suite de la surjection des pieds de z sur ceux de y (élément quelconque de C' différent de z), il se produit un ensemble M de mots prononcés par l'élément z. L'ensemble C'' étant devenu non vide, démontrer qu'il se compose de l'unique élément z. Soit maintenant P l'ensemble

existe une et une seule suite (polyn^mes de Hilbert) de o polyn^mes (Hn )n2N telle que : o H0 = 1 et pour n>1 ; T (Hn) = Hn?1 ; Hn (0) = 0. 1 X (b) Soient E et F deux ensembles nis et non vides, de cardinaux p et n. On note : Sn;p le nombre de surjections de E ?! F . etablir une relation de recurrence liant les Sn;p, en deduire la valeur de Sn;p. (c) Soit E un ensemble de cardinal p, soit p le nombre de partitions de E (on convient 0 = 1). p X1 ( ) Montrer : p = n! Sn;p. n=1 +1 1 X ( ) En deduire