Surjection

préciser les notions de condition nécessaire et de condition suffisante. e) Applications Application (ou fonction) d’un ensemble E dans un ensemble F . Graphe d’une application. Restrictions. Image directe, image réciproque. Composition. Injection, surjection, bijection, réciproque d’une bijection. Application identité. © Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❡♥s❡✐❣♥❡♠❡♥ts✉♣✲r❡❝❤❡r❝❤❡✳❣♦✉✈✳❢r Manipuler le langage élémentaire des applications. Faire le lien avec

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.12. Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Restreindre une fonction pour la rendre injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.13. Fonction réciproque . .

pas un corps. 3. Définissons sur C la relation suivante : ∀u = (un)n∈N ∈ C, ∀v = (vn)n∈N ∈ C, u R v si et seulement si u − v a pour limite 0. ˜ 3.1. Vérifier que cette relation est une relation d’équivalence sur C. On note C = C/R et ˜ π : C → C la surjection canonique. ˜ 3.2. Vérifier que C = C/R hérite d’une structure naturelle d’anneau commutatif pour laquelle π est un morphisme d’anneaux. ˜ 4. On veut montrer que C est un corps, c’est-à-dire que tout élément non nul est inversible. ˜ ˜ Soit donc u

˙ – On appelle ensemble quotient de E par la relation d’équivalence R, l’ensemble des classes d’équivalence de tous les éléments de E. Cet ensemble est noté E/R . – L’application s de E dans E/R telle que pour tout x ∈ E, s(x) = x, est appelée “surjection ˙ canonique” de E sur E/R . Exemple 3.1 Etant donné E un ensemble non vide, alors L’egalité est une relation d’équivalence dans E Le Cours d’Algèbre. -29Par M. Mechab Relations binaires Exemple 3.2 Dans R on définit la relation R par : ∀ x, y

N vérifiant x− p 1 < 2 q q {|sin n| /n ∈ N} = {|sin(n + 2kπ)| /n ∈ Z, k ∈ Z} = |sin (Z + 2πZ)| Puisque le sous-groupe H = Z + 2πZ, n’est pas monogène (car π irrationnel), H est dense dans R et par l’application |sin(.)| qui est une surjection continue de R sur [0, 1], on peut affirmer que {|sin n| /n ∈ N} est dense dans [0, 1]. En particulier, il existe une infinité de n tel que |sin n| 1/2 et pour ceux-ci |un | 2/n. Ainsi, il existe une suite extraite de (un ) convergeant vers 0

– On appelle ensemble quotient de E par la relation d’équivalence R, l’ensemble des classes d’équivalence de tous les éléments de E. Cet ensemble est noté E/R . – L’application s de E dans E/R telle que pour tout x ∈ E, s(x) = x, ˙ est appelée “surjection canonique” de E sur E/R . Exemple 3.1 Etant donné E un ensemble non vide, alors L’egalité est une relation d’équivalence dans E Le Cours d’Algèbre. -29- Par M. Mechab Relations binaires Exemple 3.2 Dans R on définit la relation R par : xRy ⇐⇒

− y ∈ ker(A) et donc Ax = Ay. La linéarité de [A] est facile à vérifier. [A] est continue, en effet ∀y ∈ [x], [A][x] = Ay et donc [A][x] = Ay ≤ A inf( y ; y ∈ [x]) = A [A] = A . Par (iii), on sait que [A] ≤ A . Pour obtenir l’égalité on utilise la surjection canonique π : E → E/M. On a A = [A].π et π(x) = [x] ≤ x . Donc π ≤ 1 et A = [A]π ≤ [A] . D’où [A] = A . (2) (i) Il est facile de vérifier que B est linéaire et bijective. De plus, Ax + z ≤ [A] [x] + z ≤ [A] max( [x] , z ) + max( [x] , z ), [x] .

Compos´e de deux applications, application identique. Restriction et prolongements d’une application. e ´ Equations, applications injectives, surjectives, bijectives. Application r´ciproque d’une bijection. Compos´e de e e deux injections, de deux surjections, de deux bijections. Images directe et r´ciproque d’une partie. e D´finition d’une loi de composition interne. Associativit´, commutativit´, ´l´ment neutre. D´finition des ´l´ments e e e ee e ee inversibles pour une loi associative admettant un ´l´ment

fondamentaux communautaires ne peut être qu'originale : son fondement n'obéit pas aux logiques « stat centrées ». Si la Cour de justice a pu identifier l'existence d'une Communauté de droit, les éléments de celle-ci demeurent singuliers de par la surjection induite des relations de communautarité entre normes communautaires et nationales d'application. De surcroît, n'étant pas un caractère systématique de l'État de droit, les droits fondamentaux n'ont pas été conçus comme un attribut de cette Communauté

définition ; – propriétés ; – relations d’équivalence, relations d’ordre. • Traiter un exemple où les Application f d'un ensemble E dans un ensemble F : – définition ; – image d’une partie A de E; – image réciproque d’une partie B de F. Injection, surjection, bijection. COMMENTAIRES Les exemples utilisés sont choisis principalement en liaison avec l’enseignement de l’informatique. On généralise au cas du produit cartésien de n ensembles finis. contraintes se traduisent en termes de relation d’ordre