Tangente hyperbolique

ellipso¨ e ıdes, hyperbolo¨ ıdes (` une a nappe et ` deux nappes), parabolo¨ a ıdes (elliptiques et hyperboliques), cˆnes, cylindres (elliptiques, hyperboliques o et paraboliques). Les ´tudiants doivent savoir reconnaˆ e ıtre sur l’´quation r´duite les ´l´ments de sym´trie et e e ee e les quadriques de r´volution. e G´n´ration d’un hyperbolo¨ de r´volution ` e e ıde e a une nappe et d’un parabolo¨ hyperbolique ıde par une famille de droites. Aucune autre connaissance sp´cifique sur les e quadriques n’est

ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies par un paramétrage ou par une équation cartésienne. C’est sous l’éclairage de ce double point de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et de plan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d’exercices de concours permet aux étudiants de se familiariser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé « compléments de géométrie » regroupe des exercices de tous les concours

x→x0 8.5 • • • • • • Fonctions hyperboliques x −x sh(x) = e −e (sinus hyperbolique) (D = IR) ; 2 x −x ch(x) = e +e (conus hyperbolique) (D = IR) ; 2 th(x) = sh(x) (tangente hyperbolique) (D = IR) ; ch(x) ch(−x) = ch(x) et sh(−x) = −sh(x) ; ch(x) ≥ 1 ∀x ∈ IR ; sh(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ; ) ch(x) + sh(x) = ex • =⇒ ch2 (x) − sh2 (x) = 1 ; ch(x) − sh(x) = e−x • sh (x) = ch(x), ch (x) = sh(x) et th (x) = 1 − th2 (x). Exercice : Etudier les fonctions hyperboliques, d´finir leur fonctions r´ciproques

Fonctions contractantes . . . . . . . . 6.3 Isométries de la droite réelle . . . . . . 6.4 Fonctions continues commutant . . . . 7 Géométrie et optimisation 7.1 Aire maximale . . . . . . . . . . . . . 7.2 Distance d’un point à une parabole . . 7.3 Tangente commune . . . . . . . . . . 7.4 Photographie de la statue de la Liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Concavité 6.2. Plan d’étude d’une fonction réelle 7. Exercices 31 32 34 35 35 35 Chapitre 5. Fonctions usuelles 1. Logarithme népérien 2. Fonctions logarithmiques 3. Exponentielle 4. Fonctions exponentielles 5. Fonctions puissances 6. Fonctions hyperboliques 7. Fonctions trigonométriques et leurs réciproques 8. Exercices 41 41 42 42 43 44 44 45 47 Chapitre 6. Intégral de Riemann 1. Intégral des fonctions en escalier 2. Intégral des fonctions continues par morceaux 2.1. Propriétés 2.2. Sommes de Riemann

effectifs sont de type float, ils seront convertis en double par le compilateur. fonction acos asin atan cos sin tan cosh sinh tanh exp log log10 pow sqrt fabs fmod ceil floor action arc cosinus arc sinus arc tangente cosinus sinus tangente cosinus hyperbolique cosinus hyperbolique tangente hyperbolique exponentielle logarithme n´p´rien e e logarithme en base 10 puissance racine carr´e e valeur absolue reste de la division partie enti`re sup´rieure e e partie enti`re inf´rieure e e 104 Annexe A.

numérique. [ROUND(n ,m )] * ABS(nb) Renvoie la valeur absolue de nb. * CEIL(nb) Renvoie le plus petit entier supérieur ou égal à nb. * COS(n) Renvoie le cosinus de n, n étant un angle exprimé en radians. * COSH(n) Renvoie le cosinus hyperbolique de n. * EXP(n) Renvoie e puissance n. * FLOOR(nb) Renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à nb. * LN(n) Renvoie le logarithme népérien de n qui doit être un entier strictement positif. * LOG(m,n) Renvoie le logarithme

. . . . . . . . . . . . . . 150 8.2 Une somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9 Géométrie et optimisation 9.1 Aire maximale . . . . . . . . . . . . . 9.2 Distance d’un point à une parabole . . 9.3 Tangente commune . . . . . . . . . . 9.4 Maximisation d’un cornet de frites . . . 9.5 Photographie de la statue de la Liberté 152 152 152 152 153 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) maximum local strict. Dans les deux cas, on dit que (a, b) est un point elliptique. Si r2 − st > 0, alors f n’admet pas en (a, b) d’extr´mum local, car f(x, y) − f(a, b) change de signe e au voisinage de (a, b). On dit que (a, b) est un point hyperbolique, point col ou selle. Si r2 − st = 0, on ne peut rien dire. On dit que (a, b) est un point parabolique. Th´or`me 74 e e Extrema li´s: la r`gle des multiplicateurs de Lagrange: Soit f : U ⊂ Rn −→ R et fi : U −→ R, 1 ≤ i ≤ p e e de classe C 1

Mac Culloch neuropsychiatre Walter Pitts logicien modélisation mathématique de la cellule élémentaire du cerveau, inspirée de la biologie mais pas réelle imitation, approximation pas compréhension profonde du système nerveux Sigmoïde : arc tangente hyperbolique qui permet de rendre la fonction seuil linéaire. Plus tard dans le traitement, on a besoin de faire la dérivée X -> entrée W -> Pondération Réseau de neurones • Neurones • Architecture – entièrement connectée – ou à couches (entrée, sortie