Tangente hyperbolique

table des matières III Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 53 53 53 55 56 57 58 60 65 66 67 69 71

1- V´rifier que le th´or`me des fonctions implicites ne s’applique pas ` l’origine e e e a 2- Soit Γ = {(x,y)/ f (x,y) = 0}. Montrer que tout point proche de l’origine est l’intersection de l’axe des abscisses et d’une courbe dont on pr´cisera la tangente ` l’origine e a 3- Combien existe-t-il de fonctions y → g(y) telles que le graphe de g soi inclus dans Γ? 4- D´terminer les extrema locaux de f . e CCP 12 12 points On d´finit f 2π p´riodique et paire par ∀x ∈ [0,π], f (x) = x2 . e e e 1- Type

la fonction f : R+∗ → R, x → Correction ln(1+ax) ln(1+bx) est croissante. [003889] 157 Exercice 3890 Inégalité Soient 0 < a < b. Montrer que : ∀ x > 0, ae−bx − be−ax > a − b. [003890] Exercice 3891 Formules d’addition pour les fonctions hyperboliques Calculer ch(a + b), sh(a + b), th(a + b) en fonction de ch a, sh a, th a, ch b, sh b, th b. [003891] Exercice 3892 Simplification de a ch x + b sh x Soient a, b ∈ R non tous deux nuls. 1. Peut-on trouver A, ϕ ∈ R tels que : ∀ x ∈ R, a ch(x) +

frères Bernoulli, le marquis de l'Hospital, Euler et Lagrange. Dans l'histoire du calcul infinitésimal, le procès de Newton contre Leibniz est resté célèbre. Newton et Leibniz avaient trouvé l'art de lever les indéterminations dans le calcul des tangentes ou dérivées. Mais Newton a publié tard (son procès intervient en 1713, presque 30 ans après les publications de Leibniz : 1684 et 1686), et surtout, Newton n'a ni l'algorithme différentio-intégral fondé sur l'idée que les choses sont constituées

est : − 3 − 2i, −1 − i, −3 + 2i, −1 + i . b) Le résultat de a) se traduit géométriquement par : le disque fermé de centre 1 + i et de rayon 1 est inclus dans la couronne √ √ fermée de centre 4 et de rayons 10 − 1 et 10 + 1 (qui est d'ailleurs tangente au disque précédent en deux points). y i 1+i 2.4 Notons A = 1+z . On a : 1−z 1+z 1+z =− 1−z 1−z O 1 4 x A ∈ i R ⇐⇒ A = −A ⇐⇒ ⇐⇒ 1+z 1+z =− 1−z 1−z ⇐⇒ (1 + z)(1 − z) = −(1 − z)(1 + z) ⇐⇒ 2 − 2zz = 0 ⇐⇒ zz = 1 ⇐⇒

production et Pm . . . . . . . . . . . . . Evolution de la productivité totale du facteur 1 . . . . . . . . . . Evolution de la productivité moyenne du facteur 1 . . . . . . . . Evolution de la productivité marginale du facteur 1 . . . . . . . Pente de la tangente et productivité marginale . . . . . . . . . . Représentation graphique de la productivité moyenne . . . . . . Progrès technique et fonction de production . . . . . . . . . . . . Une isoquante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

correspondante. Outils mathématiques 3. Fonctions Fonctions usuelles. Dérivée. Notation dx/dt. Développements limités. Capacités exigibles Exponentielle, logarithme népérien et décimal, cosinus, sinus, tangente, puissance réelle ( x → x a ), Cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique (ces fonctions hyperboliques, non traitées dans le cours de mathématiques, sont introduites par le professeur de physique). Utiliser la formule de Taylor à l’ordre un ou deux ; interpréter graphiquement. Connaître et utiliser

Brunovský et forme de commande généralisée 8.7 Équivalence par bouclages quasi statiques . . . . . . . 8.8 Linéarisabilité par bouclages quasi statiques . . . . . . 8.9 Poursuite de trajectoires pour des systèmes plats . . . 8.10 Les systèmes linéaires tangents . . . . . . . . . . . . . 8.11 Observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12 Exemple: Une grue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.A Bases mathématiques .

l’éducation nationale (DGESCO-IGEN) Mathématiques – Physique-chimie – Sciences et technologies industrielles – STI2D http://eduscol.education.fr Page 4 sur 82 Raccordement routier 1. Objectifs Mathématiques Nombre dérivé en un point et tangente. Fonction dérivée. Produit scalaire. Physique-chimie Enseignement Technologique commun Référentiels, trajectoires. Citer des ordres de grandeurs de vitesses et d’accélérations. Aménagement du territoire. Typologie des ouvrages (ponts

Retours en radians de l'arc cosinus de son paramètre Retours en radians de l'arc sinus de son paramètre Retours en radians de l'arc tangent de son paramètre Retours en radians de l'arc tangent de son paramètre où les signes des paramètres sont utilisés pour déterminer le quadrant du résultat Retourne le cosinus de son paramètre en radians Renvoie le cosinus hyperbolique de son paramètre Renvoie la valeur exponentielle de son paramètre Retourne la valeur absolue de son paramètre Retourne le logarithme