Tétraèdre régulier

Solide de Platon En géométrie, un solide de Platon est un polyèdre régulier convexe. Ce sont les analogues tridimensionnels des polygones réguliers convexes. Il y a précisément cinq figures de cette sorte (montrées ci-dessous). Elles sont uniques dans le fait que les bords, les arêtes et les angles sont tous congrus. Les cinq polyèdres réguliers convexes (solides de Platon) | Tétraèdre | Hexaèdre ou Cube | Octaèdre | Dodécaèdre | Icosaèdre | | | | | | Le nom de chaque solide est dérivé

que dans l’espace visible (« Euclidien »), seules cinq espèces de polyèdres réguliers peuvent être construites par les méthodes de la géométrie synthétique. Ces cinq espèces sont  1. le tétraèdre régulier ; 2. le cube ; 3. l’octaèdre ; 4. le dodécaèdre à douze faces ; 5. l’icosaèdre à vingt faces. (1), (3) et (5) ont pour faces des triangles équilatéraux égaux ; les faces du dodécaèdre sont des pentagones réguliers égaux. Pacioli a construit une preuve de ce théorème dans ses Proportions divines

régulières et sont considérées comme le résultat géométrique des atomes dans l’espace. Les atomes se répartissent dans un intervalle régulier dans les trois dimensions de l’espace. Ils forment ainsi un réseau cristallin. 2) Mailles élémentaires : La plupart des minéraux ont une structure cristalline. Cette structure est donnée par un assemblage infini et régulier d’atomes. Cette régularité s’explique par l’existence des réseaux et des mailles. Figure1 : réseau 3d La maille est le plus petit volume

Polyèdre |Sommets |Arêtes |Faces |Symbole de Schläfli |Configuration de sommet (en) | | |Tétraèdre |[pic] |4 |6 |4 |{3, 3} |3.3.3 | |Hexaèdre |[pic] |8 |12 |6 |{4, 3} |4.4.4 | |Octaèdre |[pic] |6 |12 |8 |{3, 4} |3.3.3.3 | |Dodécaèdre

juin 2005 Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD. 1. Montrer que la droite (AA1 ) est orthogonale au plan (BCD). − → −→ − → −→ − − − − On pourra par exemple calculer AA1 · CD et AA1 · BC . 2. En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [AA1 ]. 3. On appelle G l’isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC]

OABC un tétraèdre tel que : • OAB, OAC, OBC sont des triangles rectangles en O. • OA = OB = OC = a C On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle H O D I A B ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC → → et D le point de l'espace défini par HO = OD . 1. Quelle est la nature du triangle ABC ? 2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC. 3. Calcul de OH. a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis

et Hooke : hypothèses sur l’ordre régulier des éléments sphériques de la matière constituant le cristal. Observation des formes symétriques des cristaux de neige. I.b. Un peu d’histoire La cristallographie est une science TRES ancienne. Depuis toujours les hommes se sont intéressés aux cristaux trouvés dans la nature. Quartz Pierres précieuses Glace Cristaux géants de la grotte de Naica 1619 -1665 Kepler et Hooke : hypothèses sur l’ordre régulier des éléments sphériques de la matière

peut-on en donner ? Métropole 3 Baccalauréat S 11 septembre 2014 A. P. M. E. P. E XERCICE 4 5 POINTS Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité − → − → − → Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k , on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées : A 1; − 3; 0 ;B 1; 3 ; 0 ; C(−2 ; 0 ; 0) ; D 0 ; 0 ; 2 2 . 1. Démontrer que le plan (ABD) a pour équation cartésienne 4x + z 2 = 4. 2. On note D la droite dont une représentation paramétrique est  

[AC] et de [AD], K = bar {(O,2) ; (O ',4)} = bar {(O,1) ; (O ',2)} . Si G = bar Exercice : ABCD est un tétraèdre et G est l’ isobarycentre des sommets A, B, C et D. Démontrer que G est le point de concours des quatre médianes du tétraèdre ABCD, ainsi que des droites reliant les milieux d’arêtes « opposées » (sans sommet commun) (droites remarquables du tétraèdre). (Médiane du tétraèdre : droite passant par un sommet et le centre de gravité de la face opposée.) 1 2. Produit scalaire du plan

à la proposition C : «Le quadrilatère ABCD est un carré» C1 : ABCD est un rectangle et ABCD est un losange C2 : AB = BC = CD = DA et BAD = 90° A D B C i) Liste de propositions équivalentes à la proposition PR : « Le polygône P est un polygône régulier » Page 4 D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr PR1 : Tous les côtés de P ont même longueur et tous ses angles sont égaux PR2 : P est inscriptible dans un cercle et tous les angles au centre déterminés par les segments joignant le centre