Théorème de Cantor

distribuées : les valeurs obtenues résultent toutes de la même loi de probabilité, ici du lancer d’une pièce avec une probabilité identique de tomber sur pile ou face. © Groupe Eyrolles 31 FINANCE : LE NOUVEAU PARADIGME De là, on déduit le « théorème central limite », une autre notion statistique : toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne (c’est-à-dire correspondant à la courbe de Gauss). Formulé autrement, on peut

particulière pour laquelle tout nombre x est solution. Les algorithmes programmés dans tout système de calcul formel reflètent uniquement les connaissances mathématiques des concepteurs du système. Un tel outil ne peut pas démontrer directement un nouveau théorème ; il permet simplement d’effectuer des calculs dont les méthodes sont bien connues mais qui sont trop longs pour être menés à bien « avec un papier et un crayon ». 1.6 Classes et classes normales Les sections suivantes présentent la notion

définitions (comme dans un dictionnaire), de conventions, d'algorithmes facilitant les opérations, de règles (une syntaxe) permettant de construire des énoncés, des phrases mathématiques, des conjectures, lesquelles vont devenir éventuellement des théorèmes si elles subissent avec succès l'épreuve de la démonstration, etc. Analyse structurante des mathématiques du primaire 7 Figure 1: Articulation des domaines mathématiques élémentaires Analyse structurante des mathématiques du primaire

une droite, la construction d’une courbe continue sans tangente par Weierstrass en 1872, la découverte d’ensembles paradoxaux dans la théorie des ensembles par Cantor en 1899 et Russell en 1905. Mais c’est Kurt Gödel qui ruine en 1931 les espoirs d’une formalisation complète des mathématiques. Il démontre en effet dans un célèbre théorème (je reprends la formulation qu’en donne le mathématicien I. Ekeland) que quel que soit le système d’axiomes et de règles retenu (pourvu toutefois qu’il n’y en ait

silencieux, une cigarette toujours à la main, enfermé dans son bureau sous les combles, cramponné à un crayon ou à une craie, coupé de la vie, une sorte d’ermite de l’abstraction ; son monde se réduisait aux théories de Cantor, à la géométrie d’Euclide, aux 69/1063 théorèmes de Fermat et Gödel, aux fractals de Mandelbrot, aux systèmes de Lorenz, à l’empire des nombres. Il vivait dans un nuage d’équations et de tabac, plongé dans un univers irréel, loin des hommes, en une réclusion ascétique

fondements des math´matiques, crise apparue en 1902 avec le paradoxe e sus-mentionn´. En 1895, le math´maticien Georg Cantor (1845–1918) avait cr´´ la th´orie des ensembles, e e ee e e “un paradis dont personne ne doit pouvoir nous expulser” selon le mot de David Hilbert. Sept ann´es plus tard, il fallait se rendre ` l’´vidence: de s´rieuses difficult´s apparaissaient dans la th´orie de Cantor, a e e e e en particulier dans la notion mˆme d’ensemble. Russell ´tait un personnage vraiment extraordinaire :

une dizaine d’années la musique sérielle se développera sous la plume de compositeurs aujourd’hui célèbres : Luciano Berio (Sequenza 7 pour hautbois), Pierre Boulez (Sonates pour piano, Structures pour deux pianos), Luigi Nono (Canti per 13-1953; Il canto sospeso-1955) Henri Pousseur, Stockhausen (Kreuzspiel, Punkte). L’esprit sériel s’est imposé dans la musique concrète à travers les travaux d’Henri Pousseur, de Stockausen... Le compositeur Jean Barraqué est certainement celui qui reste le plus fidèle

satisfactorily explained what differentiates a persuasive from a nonpersuasive cue. Specifically, none of the extant models identifies the necessary or sufficient conditions for cue persuasion. The formal theoretical framework that Lupia offers begins with the theorem that “perceived common interests and perceived speaker knowledge are each necessary for persuasion.” Satisfaction of both necessary conditions, plus the condition that the listener be sufficiently uncertain about two (or more) alternatives so as to

suite régulière de ses échantillons à intervalle donné, et qui remplace une image par un certain nombre de pixels répartis sur une grille uniforme. C’est le théorème de Shannon qui permet cette opération à condition que la bande fréquentielle du signal soit limitée (ou la transformée de Fourier 2D de l’image soit à support limité). Le théorème indique avec quel intervalle il faut échantillonner le signal, ou avec quel espacement de grille il faut prendre les pixels de l’image. Pour une vidéo il

al´atoires X, Y qui interviennent sont e d´finies sur un espace mesur´ (Ω, A, µ). Suivant notre convention, on dira que e e X dµ existe, si X ≥ 0, ou si X est µ-int´grable. Enfin, si X dµ existe et e si A ∈ A, on posera A X dµ = Ω XIA dµ. ´ ` 9. THEOREMES DE CONVERGENCE 125 Proposition 8.1. — Si X dµ et Y dµ existent, alors les propri´t´s ee suivantes sont satisfaites : A. Lin´arit´ e e (A1) (X + Y ) dµ = X dµ + Y dµ ; (A2) pour tout λ r´el, on a : λX dµ = λ X dµ ; e (A3) pour tous A, B ∈ A