Théorème de Cayley-Hamilton

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

(n+1−k) On en déduit que (f g)(n+1) (x) = f (x)g (k) (x). k k=0 Donc (Pn+1 ) est vraie. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 EXERCICE 4 analyse Énoncé exercice 4 1. Énoncer le théorème des accroissements finis. 2. Soit f : [a; b] −→ R et soit x0 ∈ ]a, b[. On suppose que f est continue sur [a; b] et que f est dérivable sur ]a; x0 [ et sur ]x0 ; b[ Démontrer que, si f admet une limite en x0 , alors f est dérivable en x0 et f (x0

vectoriel de dimension finie, alors 2 Chap. 1. Espaces vectoriels et Applications linéaires 1) E admet une base ; 2) toutes les bases de E ont même cardinal appelé dimension de E ; 3) toute famille libre peut être complétée en une base de E (théorème de la base incomplète). ◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et soit F une famille de n éléments de E. Les trois propositions suivantes sont équivalentes : 1) F est une famille libre de E ; 2) F est une famille génératrice de E

, −1 ∫z Rappel : Théorème de Cauchy : n dz = i 2π si C c’est-à-dire : + n = −1, = 0 sinon C+ avec n entier relatif sens trigonométrique. et C+ cercle de rayon quelconque et de centre 0 parcouru dans le X ( z) = Considérons l'équation de définition de la TZ : ∞ ∑ x (m) z − m m=−∞ Multiplions les 2 membres par zn-1 et intégrons sur C+ inclus dans l'anneau (R1,R2) de convergence de X ( z ) . D'après le théorème de Cauchy, tous les termes

condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? 21 [002992] [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a˙ est équipotent à H. 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

2. A quelle condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a est équipotent à H. ˙ 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

0. Montrer, M 2G M , que X M 2G M = 0. 01 43. Soient A = @ 0 42. Soit F un sous-espace vectoriel de Mn(R), stable pour le produit et contenant In. Montrer que F \ (GLn (R)) est un sous-groupe de GLn (R). (Utiliser le theoreme de Cayley-Hamilton). 0 0 0 0 1 A et B = @ 1 0 0 A deux matrices. Quel est le 0 1 0 1 0 0 1 0 groupe multiplicatif engendre par A et B ? (On pourra remarquer que A et B sont des matrices de permutation). 1 0 1 44. Nous voulons demontrer un resultat

cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 3 L’ordinateur quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 15 Lagrangien et hamiltonien 1 Formalisme lagrangien et principe de moindre action 2 Formalisme canonique de Hamilton et Jacobi . . . . 3 M´canique analytique et m´canique quantique . . . . e e 4 Particule dans un champ ´lectromagn´tique . . . . . e e 5 Force de Lorentz en m´canique quantique . . . . . . e . . . . . . . . . . . . .