Théorème de Cayley-Hamilton

parcours optimal de distribution : Le problème du postier chinois consiste à trouver un plus court chemin dans un graphe connexe non orienté qui passe exactement une fois par chaque arête du graphe et revient à son point de départ (Cycle eulérien, Théorème d’Euler : Un graphe orienté fortement connexe est Eulérien si et seulement si chacun de ses sommets est l’extrémité initiale et terminale du même nombre d’arêtes). Le problème du voyageur de commerce consiste à trouver un plus court chemin dans un

x=y  −x + y = −z Le sous-espace E−1 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur (1, 1, 0). Le sous-espace caractéristique de A, associé à l’unique valeur propre λ = −1, est le sous-espace N−1 = ker(A + I)3 , or, compte tenu du théorème de Hamilton-Cayley, on sait que PA (A) = 0, ainsi, la matrice (A + I)3 est la matrice nulle, ce qui implique N−1 = R3 , c’est donc l’espace tout entier. 2. Démontrons que f admet un plan stable. La matrice de f n’est pas diagonalisable, mais comme son polynôme

algèbres ; un morphisme d’ algèbre est une application f : A ! B qui est linéaire et qui est un morphisme d’ anneau c’ est-à-dire qui véri…e : 8x; y 2 A; 8 2 | : f (x + y) = f (x)+ f (y) ; f (x:y) = f (x): f (y) ; f ( x) = f (x) ; f (1A ) = 1B : Théorème 1.1 : L’ application Preuve : u : |[X] ! L(E) est un morphisme d’ algèbre. P 7 ! P (u) n P En e¤et 8P; Q 2 |[X]; 8 2 |; posons P = ai X i ; Q = i=0 j=0 linéaire). (P Q)(u) = u (P Q) ; u ( P ) = ( P )(u) = P (u) = u (P ) ;

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le

1)2 (λ − 2) 2 et, en développant, le polynôme caractéristique s’écrit : χ A (λ) = λ 4 – 2 λ3 – 3 λ 2 + 4λ + 4 . or il est classique que χ A (λ) = λ 4 – tr(A) λ3 + … + dét A ; on retrouve donc bien tr(A) = 2 et dét A = 4. d) D’après le théorème de Cayley-Hamilton, χ A (A) = θ et donc (A + I)2 (A − 2I) 2 = θ, ou encore [(A + I)(A − 2I)]2 = θ ; on vérifie aisément que (A – I)(A + 2I) = A 2 – A – 2I = θ, de sorte que χ A et P défini par P(A) = A 2 – A – 2I sont des polynômes annulateurs de A. e)

1.2 4 4 Applications linéaires 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 CHAPITRE 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 2.1 2.2 2.3 Familles libres, familles liées, familles génératrices Sommes, sommes directes Théorème d’isomorphisme Interpolation de Lagrange Théorème du rang 9 9 10 11 Dualité 13 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Généralités Hyperplans Bases duales 13 14 16 Calcul matriciel 22 1.4.1 1.4.2 Trace Blocs 22 27 Déterminants 35 Le groupe symétrique 36 2.1.1 2.1.2 2.1.3 36 36

Cinématique 3.2 Changement de référentiel 3.3 Lois générales de la mécanique 3.4 Oscillateurs 3.5 Mouvement d’une particule chargée 3.6 Systèmes de deux points matériels 88 88 90 91 95 98 99 4. Mécanique du solide 4.1 Cinématique du solide 4.2 Théorèmes généraux de la dynamique 4.3 Contacts entre les solides 101 101 103 104 5. Optique 5.1 Généralités 5.2 Optique géométrique 5.3 Interférences lumineuses 5.4 Interféromètre de Michelson 5.5 Autres dispositifs d’interférences 5.6 Diffraction des ondes

L (f(t) . g(t)) ≠ L(f(t)) × L (g(t)) c- Produit de convolution: ( )( ) ( ) ( )∫ ∞+ ∞− −= dxxtgxftgf * (c’est le produit de convolution) L (f(t)*g(t)) = L(f(t)) . L (g(t)) d- Théorème des limites: Le théorème de la valeur initiale: ( ) ( )pFptf pt ∞+→→ = + limlim 0 L. EL MENZHI Le théorème de la valeur finale: ( ) ( )pFptf pt +→∞+→ = 0 limlim e- Dérivation et intégration: • Dérivation: étant donnée une fonction f(t) définie positive et dérivable sur IR+*, alors la transformée

alors 1 est valeur propre.( a b 1− a 1− b )( x y ) = ( x y ) ⇔ { ax+ by = x (1− a)x+ (1− b)y = y ⇔ { by = (1− a)x by = (1− a)x Seconde méthode : on calcule le déterminant ou le rang de la matrice M−Id, où Id désigne la matrice identité. Grâce au théorème du rang on trouve la dimension de ker(M − Id), si elle est non nulle alors 1 est valeur propre. M − Id = ( a− 1 b 1− a −b ) On constate que la première ligne est proportionnelle à la seconde avec un facteur -1. Autrement dit, le rang de la matrice