Théorème de projection sur un convexe fermé

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

Espaces vectoriels 30 Applications linéaires 31 Espaces vectoriels de dimension finie 32 Applications linéaires en dimension finie 33 Matrices 34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . . . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . 40.6 Endomorphismes de

élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 34 35 Algèbre euclidienne et hermitienne 8

compacit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 e e 11 Espaces r´flexifs et espaces s´parables e e 11.1 D´finition et exemples . . . . . . . . . e 11.2 R´sultats . . . . . . . . . . . . . . . . e 11.3 Espaces uniform´ment convexes . . . . e 11.4 Les espaces s´parables . . . . . . . . . e 11.5 Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . Bibliographie 121 121 122 126 127 130 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nous étudions des écoulements stationnaires faiblement compressibles dans un domaine borné avec des conditions au bord de type "rentrante-sortante". Nous étudions aussi le problème d’écoulements stationnaires faiblement compressibles dans un coin convexe. En utilisant une méthode de point fixe (premier et deuxième problèmes) et une décomposition de Helmoltz (deuxième problème), nous montrons des résultats d’existence et d’unicité des solutions. Nous étudions également le cas d’un écoulement non stationnaire

incertitudes 8 PARTIE II : MECANIQUE 10 A. GENERALITES SUR LES FORCES 10 1) Définition 10 2) Caractéristiques 10 3) Somme des forces 10 a) Cas général 10 b) Cas particuliers 10 ii) Cas où α=180° (ou encore α=) 10 iii) Cas où α= 90° (ou encore α= 10 1) Projection d’un vecteur force dans un repère 11 B. EQUILIBRE DES SOLIDES 11 1) Conditions d’équilibre : 11 2) Équilibre d’un solide soumis à deux forces 12 3) Équilibre d’un solide soumis à trois forces 12 C. TRAVAIL D’UNE FORCE 12 1) Définition du travail

qui est l’angle entre Ox et T , ϕ = i , T d’où, en paramétriques :         dx dx ds −  cos ϕ   ds   dt / dt  −  − sin ϕ  →  →  =     T :    dy  =  dy ds  et N :  sin ϕ / cos ϕ ds dt dt En polaires, on a : ϕ =θ+V Théorème : Avec les notations précédentes, on a : γ= dϕ ds R=  ds dϕ    .   dϕ − → −  cos ϕ  →  →  − sin ϕ × ds  qu’on dérive par rapport à s. D’où d T = γ − :  Démonstration : T :  N   ds dϕ sin ϕ cos ϕ × ds dϕ Ce qui donne immédiatement

TABLE DES MATIÈRES 13 Conditionnement et indépendance 13.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Les trois théorèmes fondamentaux . . . . . 13.3 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Indépendance de deux événements . . . . . 13.3.2 Indépendance d’une famille d’événements . 13.4 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Le

description du mouvement et l'étude de ses causes. Deux exemples de bases de projection orthogonales : vitesse et accé- Un point essentiel est de souligner que le paramétrage et la base de lération en coordonnées cartésiennes (base fixe) et en coordonnées cy- projection doivent être adaptés au problème posé. Ainsi, pour le moulindro-polaires (base mobile). vement de vecteur accélération constant, la base cartésienne de projection doit être judicieusement orientée. De même, pour le mouvement circulaire

composition peut évoluer dans l’année afin de préparer au mieux les écoles « parisiennes ». Les DL sont obligatoires pour tous. Les DL* ne sont obligatoires que pour les élèves du groupe *. 5. Les questions de cours en colle (élèves et colleurs) : Les théorèmes et autres propositions dont les démonstrations sont au programme de colle sont libellés par (QC) ou bien par (QC*). Les questions (QC*) peuvent être proposées aux élèves du groupe * mais pas aux autres élèves. En colle, il doit toujours y avoir en