Théorème des bornes

. . . . . . . . . . . . 15 3 THÉORÈMES DE BASES ET MODÉLISATIONS DES RÉSEAUX LINÉAIRES 17 3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Théorème de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 9 ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I TABLE DES MATIÈRES 3.3 3.4 3.5 4 5 Théorème de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Théorème Thevenin . . . . . . . . . . .

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 2 : Les fonctions Calculer des limites Méthode : On commence par analyser f (x). Peut on directement appliquer l’un des théorèmes du cours (limites et opérations, théorèmes de comparaison) ? Dans la négative, il est nécessaire de donner à f (x) une nouvelle expression relevant de ces théorèmes. Cette nouvelle expression peut être obtenue en imposant à la variable une condition compatible avec la recherche de la limite : condition du type x > x 0 pour

application linéaire sur U = Rn alors f est différentiable de différentielle f . Si f : Rn → R est définie pour tout x ∈ Rn par f (x) = xT Ax avec A une matrice n × n à coefficients réels, alors f est différentiable de différentielle Df (a)h = aT (A + AT )h. Théorème 1. Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . – Soient f, g : U → Rp deux fonctions différentiables en a et λ ∈ R. L’application f + λg est différentiable en a de différentielle D(f + λg)(a) = Df (a) + λDg(a). – Soient f : U → Rp une application différentiable

On dispose comme le montre la figure ci-dessous, la tige MN, conductrice rigide de masse m = 20g sur des rails rectilignes et parallèles, eux aussi conducteurs. Le plan que forment les rails rectilignes est horizontal. L'ensemble est connecté aux bornes d'une batterie de f.é.m. 12V et de résistance interne négligeable par l'intermédiaire d'une résistance R = 100 Ω. Un interrupteur permet de commander le circuit. On négligera toutes les autres résistances. La tige et les rails situés dans une zone

(resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique. Preuve. Soient x, y deux plus grands éléments. Comme y ∈ A et x pge on a y ≤ x. De même, x ∈ A et y pge donne x ≤ y. Par antisymétrie de la relation ≤, on a x ≤ y et y ≤ x implique x = y. Théorème 1. On munit N de la relation d’ordre usuelle. Alors : 1) Tout sous-ensemble non vide de N admet un plus petit élément. 2) Tout sous-ensemble non vide et majorée de N admet un plus grand élément. 1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE

E , ∃M ∈ R : |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ B. 3) On se propose de montrer le théorème de Mackey suivant : un sousensemble B d'un espace de Banach E est σ(E, E )-borné ⇐⇒ B est norme-borné. Et on suppose que B est σ(E, E )-borné. a) On pose Fn = {f ∈ BE : |f (x)| ≤ n, ∀x ∈ B} où BE est la boule unité fermée de E . Montrer que ∪n≥1 Fn = E (utiliser 2)). b) Montrer qu'il existe n0 ≥ 1, ∃f0 ∈ E , ∃ > 0 tels que B(f0 , ) ⊂ Fn0 (utiliser le théorème de Baire). c) En déduire que x ≤ 2n0 , ∀x ∈ B. Rappelons que si 0

noyau de fer. Elle est donnée par Φ (weber) =L i (: Φ est le flux de B traversant la bobine Φ=n B.S (l'induction est supposée uniforme, n est le nombre de spires de l'enroulement, S est la surface de la spire en m2). - sans fer B = µ0 H=µ0 n i/l (théorème d'Ampère) d’où Φ/S= n2 µ0 i/l et L0=µ0 n2S/l - avec fer B = µ0 µr H et L=µ r L0 Ainsi la self d’une bobine à noyau de fer est considérablement plus élevée que sans fer. _____________________________________________________________________________________________

étranger a intérêt à produire le bien X et à le vendre au pays étranger contre du bien Y si pX/pY > aX*/aY* Les intérêts des deux pays sont compatibles puisque aX/aY > aX*/aY* : il est possible de trouver un prix relatif pX/pY entre ces deux bornes. Bénassy-Quéré Coeuré 2007 8 Equilibre autarcique Concurrence parfaite : Y L/aY pX = aX w ; pY = aY w ; pa = pX/pY = aX/aY aX/aY Si pX/pY < aX/aY, alors le pays domestique ne produit plus que Y (profit pY/aY > pX/aX). pX*

La plupart des math´maticiens sont d’accord sur un e certain nombre d’axiomes (ceux qui fondent la th´orie des ensembles, voir chapitre suivant) e qui sont donc la plupart du temps sous-entendus. Par exemple nous verrons au chapitre 5 que : ´ ` THEOREME: Soit n un nombre entier qui n’est pas le carr´ d’un entier alors il n’existe e √ 2 pas de nombre rationnel x tel que x = n (en d’autres termes n n’est pas un nombre rationnel). Pour appliquer un th´or`me ` une situation donn´e, on doit d’abord v´rifier

triphasé Théorème de Boucherot (rappel) Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du groupement. Remarque : Ce théorème ne s'applique pas aux puissances apparentes, que l'on ne peut cumuler (la puissance apparente est une somme complexe, de composantes pas nécessairement en phase). Charge triphasée déséquilibrée (ou quelconque) Donc d’après ce théorème, la puissance