Théorème des bornes

le temps :.....................................................................................................18 La discrétisation de la grandeur mesurée : .....................................................................................18 Le théorème de la moyenne :..........................................................................................................19 TP N°1 REGULATION NUMERIQUE DE TEMPERATURE....................................................21 Principe général:.......

Montrer que si I est un point du segment [AB] distinct de A et de B, alors la condition  IA AI 2 =2 est équivalente à la condition  = .  IB AB 3 2. Ecrire un programme de construction du point I à la règle non graduée et au compas,  utilisant le théorème de Thalès.  3. Faire une figure avec AB=10 cm.  4. Justifier la construction du point I.    Partie B : Deuxième méthode de construction du point I, dans un cas particulier.  1. Un segment [AB] de longueur 10 cm étant donné, peut‐on construire un point C tel 

ECS1 Corrigé du Devoir Surveillé 5 Exercice 1 : 1. Cette série est une série à termes positifs. Considérons la somme partielle de rang n ∈ N∗. Sn = n∑ k=1 k2+2 3k = n∑ k=1 k2(13)k + 2 n∑ k=1 (13)k par linéarité. Sn = n∑ k=1 (k(k − 1) + k)(13)k + 2( n∑ k=0 (13)k − 1) Sn = 1 9 n∑ k=2 k(k − 1)(13)k−2 + 1 3 n∑ k=1 k(13)k−1 + 2( n∑ k=0 (13)k − 1) On reconnaît des sommes partielles associées à des séries géométriques et géométriques dérivées d'ordre 1 et 2 toutes convergentes puisque |13 | < 1. Ainsi

Exercice 1 : (7,5pt) Partie 1 : « Restitution des connaissances » Dans un triangle MAB où I est le milieu de [AB], démontrer le théorème de la médiane : MA2 + MB2 = 2 MI2 + AB² (0,5pt) Partie2 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 3. Soit I le milieu de [AB] et J celui de [IC]. Pour tout M du plan, on pose : h ( M ) = MA2 + MB2 + 2 MC2. Soit ( E ) l'ensemble des points M du plan tels que : h ( M ) = 66. On se propose de déterminer la nature de l'ensemble ( E ) de

E XERCICE N°2 1. Restitution Organisée de Connaissances (5 points) a) Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle [a ; + ∞[. Compléter la phrase suivante : « Dire que f admet une limite finie en +∞ signifie . . . » b) Démontrer le théorème des gendarmes : « Si f , g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle [a ; +∞[ et un nombre réel tels que les fonctions g et h aient pour limite commune quand x tend vers +∞, et que pour tout x ∈ [a ; +∞[, g (x) f (x) h(x), alors la limite

entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x) IIEtude du logarithme népérien ALes limites Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont : limx→0ln(x)=−∞ limx→+∞ln(x)=+∞ D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel non nul n : limx→+∞ln(x)xn=0 limx→0+xnln(x)=0 Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 : limx→1ln(x)x−1=1 BLa dérivée

u(x) = −x , ainsi u ′ (x) = −2x et (u ′ eu )(x) = −2x f (x) ⇐⇒ x f (x) = − u ′ (x)eu(x) . 2 1 −x 2 1 1 1 1 1 On a donc : u 1 = − e 1− . =− + = 2 2e 2 2 e 0 3. a. Comme la fonction exponentielle est positive sur R, pour tout x de [0 ; 1], x n f (x) bornes sont dans le bon ordre, par positivité de l’intégrale, on a bien le résultat. b. Pour tout n dans N, u n+1 −u n = 1 0 0. Enfin, comme les x n+1 f (x)− x n f (x)dx = 1 0 (x −1)x n f (x)dx 0 car la fonction intégrée est clairement

Cinématique 3.2 Changement de référentiel 3.3 Lois générales de la mécanique 3.4 Oscillateurs 3.5 Mouvement d’une particule chargée 3.6 Systèmes de deux points matériels 88 88 90 91 95 98 99 4. Mécanique du solide 4.1 Cinématique du solide 4.2 Théorèmes généraux de la dynamique 4.3 Contacts entre les solides 101 101 103 104 5. Optique 5.1 Généralités 5.2 Optique géométrique 5.3 Interférences lumineuses 5.4 Interféromètre de Michelson 5.5 Autres dispositifs d’interférences 5.6 Diffraction des ondes

cours. 1.2. Lois générales dans le cadre de l’approximation quasi-stationnaire 1.2.1. Les dipôles Un dipôle est un composant électrique qui est relié à l’extérieur (au reste du circuit) par deux bornes (ou connexions). Ce dipôle est traversé par un courant I, et possède une tension à ses bornes notée U (voir …gure 1.4). Remarque 1.3 Il est important de représenter le courant I et la tension U par des ‡èches : celles-ci indiquent le sens positif. Cela signi…e que si l’on dit que le courant est

Résumé du cours d’optimisation. L. HALPERN 13 septembre 2005 2 Table des matières I Résultats théoriques 1 Résultats d’existence 1.1 Théorème de Weierstrass . . 1.2 Cas convexe . . . . . . . . . 1.3 Rappels de calcul différentiel 1.3.1 Dérivées premières . 1.3.2 Dérivées secondes . 1.3.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .