Théorème des bornes

On cherche l'évolution de la tension u(t). Fig. 4.1 Circuit RC Avant de se lancer dans les calculs, il est toujours bon de chercher à en prédire, dans une certaine mesure, les résultats. Intuitivement, on sait d'une part que la tension aux bornes de la capacité ne peut pas chuter brusquement : u (0+ ) = u (0− ) . On conçoit par ailleurs aisément que l'énergie emmagasinée dans la capacité va se libérer dans la résistance, en y forçant un courant. Après un temps suffisant, l'énergie sera

Avertissement Ces notes ont été redigées pour servir de support au cours M11 “Analyse réelle I ”, enseigné aux étudiants de la première année de la licence STS, mention mathématiques. Il s’agit d’un résumé du cours. Ainsi, les démonstrations des théorèmes ne sont par reportées ici, mais elles sont développées pour la plupart pendant le cours. Il ne faut donc pas considérer ces notes comme un texte de référence et les étudiants sont fortement invités à consulter des livres d’analyse. Ces notes contiennent

principe de fonctionnement des machines électriques tournantes à courants alternatifs. Nous allons nous intéresser à la façon de produire de tels champs à partir d'un courant alternatif, puis à partir d'un système triphasé équilibré de courants. I.1. Théorème de Leblanc. Considérons un bobinage d'axe Ox parcouru par un courant i( t ) = I. 2 . cos(ω.t ) . Ce r r dispositif permet de créer un champ sur l'axe Ox défini par H = H m . cos(ω.t ).u x Considérons deux champs H+ et H- de norme constante Hm/2

qui est l’angle entre Ox et T , ϕ = i , T d’où, en paramétriques :         dx dx ds −  cos ϕ   ds   dt / dt  −  − sin ϕ  →  →  =     T :    dy  =  dy ds  et N :  sin ϕ / cos ϕ ds dt dt En polaires, on a : ϕ =θ+V Théorème : Avec les notations précédentes, on a : γ= dϕ ds R=  ds dϕ    .   dϕ − → −  cos ϕ  →  →  − sin ϕ × ds  qu’on dérive par rapport à s. D’où d T = γ − :  Démonstration : T :  N   ds dϕ sin ϕ cos ϕ × ds dϕ Ce qui donne immédiatement

⎡⎣e−σ t f (t ) ⎤⎦ = F ( p + σ ) (translation de la transformée) (I.7) LI [ f (t ) * g (t ) ] = F ( p )G ( p ) (convolution) (I.8) lim pF ( p ) = lim f (t ) p →∞ t → 0+ (théorème de la valeur initiale) (à condition que ces limites existent) (I.9) 5 6 TRANSFORMEE DE LAPLACE lim pF ( p ) = lim f (t ) p→ 0 t →∞ (théorème de la valeur finale) (I.10) (à condition que ces limites existent) F ( p) ⎡∞ ⎤ (périodification) LI ⎢ ∑ f (t − kT )ε (t − kT ) ⎥ = − pT ⎣ k =0 ⎦ 1− e (I.11) Exemple I

Circulation du champ électrique 2.6. Loi locale et loi intégrale 2.7. Exemples d’application 2.7. Dipôle électrostatique Exercices Corrigés 27 28 29 31 32 32 33 38 42 45 THÉORÈME DE GAUSS 56 3.1. Flux du champ électrique créé par une charge ponctuelle 56 00•Table des matières 8/08/06 10:08 Page VI VI Table des matières 3.2. Théorème de Gauss 3.3. Loi locale et loi intégrale 3.4. Conservation du flux le long d’un tube de champ 3.5. Équations de Poisson et de Laplace 3.6. Conditions de passage à

Les conditions peuvent se cumuler, d’où systèmes et intersections d’intervalles Limites et asymptotes C’est aux bornes (finies ou infinies) de l’ensemble de définition de f que l’on étudie ses limites. Interviennent alors : - Les limites « usuelles », souvent intuitives ( lim x 2 = +∞ , etc…) x →+∞ - Les limites par comparaison (théorème de minoration, de majoration, théorème dit « des gendarmes ») - Les opérations entre limites (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient, d’une composée)

est le produit de la tension électrique aux bornes de laquelle est branchée l'appareil (en volts) et de l'intensité du courant électrique qui le traverse (en ampères) pour des appareils purement résistifs. Cas général : régimes variables[modifier | modifier le code] Si la tension et le courant varient, la puissance instantanée consommée par un dipôle est égale au produit des valeurs instantanées du courant qui le traverse et de la tension à ses bornes. p(t) = u(t) \cdot i(t) \, avec p en watts

trajectoire de la particule. Nous simulerons par la suite un très grand nombre de trajectoires de paramètres fixes afin de comparer les résultats théoriques aux résultats observés notamment sur les probabilités d’absorption de cette particule par les bornes et des temps moyens d’absorption. 7 Modélisation et simulation de la trajectoire d’une particule au sein d’un fluide 8 Modélisation et simulation de la trajectoire d’une particule au sein d’un fluide 1. MARCHE ALEATOIRE DE BERNOULLI

définies sur un intervalle [a , b[ (resp. ]a , b]), b pouvant être +& (resp. a pouvant être -&), et qui ne sont pas nécessairement bornées. On considérera ensuite les fonctions définies seulement sur des intervalles ouverts ]a , b[ , éventuellement non bornés. Exemples : 1 xn sur ]0 , 1] ou sur [1 , +&[ , ˘n x sur ]0 , 1] ou 1 sur ]0 , 1[ … x(1 - x)   Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront à valeurs réelles ou complexes, le cas des fonctions complexes pouvant se ramener à celui